Phương pháp giải:

Xét tính liên tục của hàm số tại x = 2: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = f\left( 2 \right)\)

Lời giải chi tiết:

Hàm số liên tục trên R, liên tục trên \(\left( {2; + \infty } \right)\)

Ta có \(f\left( 2 \right) = \sqrt {2.2 - 4}  + 3 = 3;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {\sqrt {2x - 4}  + 3} \right) = 3\)

Khi m = 6 ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} {{x + 1} \over {{x^2} - 12x + 20}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} {{x + 1} \over {\left( {x - 2} \right)\left( {x - 10} \right)}} =  + \infty  \Rightarrow \) Không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) \Rightarrow \) Hàm số gián đoạn tại x = 2.

Khi \(m \ne 6\) ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} {{x + 1} \over {{x^2} - 2mx + 3m + 2}} = {3 \over {6 - m}}\)

Đề hàm số liên tục tại x = 2 thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) \Leftrightarrow {3 \over {6 - m}} = 3 \Leftrightarrow m = 5\).

Thử lại khi m = 5 thì khi x < 2, \(f\left( x \right) = {{x + 1} \over {{x^2} - 10x + 17}}\) liên tục trên \(\left( { - \infty ;2} \right)\).

Vậy với m = 5 thì hàm số liên tục trên R.

Chọn C.