Phương pháp giải:

a) Dựa vào định lý đường trung bình của tam giác để chứng minh được các cạnh PR = DF và \(PR//DF \Rightarrow PFDR\) là hình bình hành theo dấu hiệu nhận biết.

Lại có \(PF//BK;BK \bot AC;AC//PR\) nên \(PF \bot PR\) nên PFDR là hình chữ nhật.

Chứng minh tương tự với tứ giác PQDE.

b) Dựa vào tính chất hình chữ nhật: Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường để suy ra điều phải chứng minh.

Lời giải chi tiết:

a) Xét \(\Delta ABI\) có \(FA = FB\left( {gt} \right);PI = PA\left( {gt} \right) \Rightarrow FP\) là đường trung bình của  \(\Delta ABI\)

\( \Rightarrow FP//BI\left( {t/c} \right) \Rightarrow FP//BK\)

Mà \(BK \bot AC\left( {gt} \right)\) nên \(FP \bot AC\left( 1 \right)\)

Xét \(\Delta AIC\) có \(PA = PI\left( {gt} \right);RI = RC\left( {gt} \right) \Rightarrow PR\) là đường trung bình của tam giác

\( \Rightarrow PR//AC;PR = {1 \over 2}AC\left( {t/c} \right)\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(FP \bot PR\) (từ vuông góc đến song song)

Xét \(\Delta ABC\) có \(FB = FA\left( {gt} \right);DB = DC\left( {gt} \right) \Rightarrow DF\) là đường trung bình của tam giác

Từ (2) và (3) ta có \(PR//DF;PR = DF\) nên PRDF là hình bình hành.

Lại có \(PF//BK;BK \bot AC;AC//PR\) nên \(PF \bot PR\) nên hình bình hành  là hình chữ nhật.

Chứng minh tương tự ta cũng có:

\(\left\{ \matrix{PE//CL  \cr CL \bot AB  \cr  AB//PQ \cr}  \right. \Rightarrow PE \bot PQ\) và \(PQ//DE//AB;PQ = DE = {1 \over 2}AB\) nên PEDQ là hình bình hành.

Do đó PEDQ là hình chữ nhật.

b) PEDQ là hình chữ nhật nên PD cắt EQ tại trung điểm O của PD và EQ

Lại có PFDR là hình chữ nhật nên PD cắt FR tại trung điểm O  của pD và FR

Do đó O là trung điểm các đoạn thẳng  \(PD,FR,EQ\)

Vậy ba đường thẳng \(PD,FR,EQ\) cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn.