Phương pháp giải:

+) Điều kiện để phân thức có nghĩa khi và chỉ khi mẫu thức khác 0.

+) Thu gọn phân thức đại số.

+) Tính giá trị của phân thức tại giá trị cho trước.

+) Điều kiện để biểu thức nhận giá trị nguyên

Lời giải chi tiết:

a) \(P = \left( {\frac{x}{{x + 3}} - \frac{2}{{x - 3}} - \frac{{{x^2} - 1}}{{9 - x{}^2}}} \right):\left[ {2 - \frac{{x + 5}}{{x + 3}}} \right]\)

ĐK: \(x \ne 3;x \ne  - 3\).

\(\begin{array}{l}P = \left( {\frac{x}{{x + 3}} - \frac{2}{{x - 3}} - \frac{{{x^2} - 1}}{{9 - x{}^2}}} \right):\left[ {2 - \frac{{x + 5}}{{x + 3}}} \right]\\\,\,\,\, = \left( {\frac{x}{{x + 3}} - \frac{2}{{x - 3}} + \frac{{{x^2} - 1}}{{(x - 3)(x + 3)}}} \right):\left( {\frac{{2x + 6 - x - 5}}{{x + 3}}} \right)\\\,\,\,\, = \left( {\frac{{x(x - 3) - 2(x + 3) + {x^2} - 1}}{{(x + 3)(x - 3)}}} \right):\frac{{x + 1}}{{x + 3}}\\\,\,\,\, = \frac{{2{x^2} - 5x - 7}}{{(x + 3)(x - 3)}}.\frac{{x + 3}}{{x + 1}}\\\,\,\,\, = \frac{{2{x^2} + 2x - 7x - 7}}{{(x + 3)(x - 3)}}.\frac{{x + 3}}{{x + 1}}\\\,\,\,\, = \frac{{(2x - 7)(x + 1)}}{{(x + 3)(x - 3)}}.\frac{{x + 3}}{{x + 1}}\\\,\,\,\, = \frac{{2x - 7}}{{x - 3}}.\end{array}\)

b) Tìm P biết |x| = 1.

\(|x| = 1 \Leftrightarrow x =  \pm 1\,\,(tmdk)\)

Với \(x = 1 \Rightarrow P = \frac{{2.1 - 7}}{{1 - 3}} = \frac{5}{2}.\)

Với \(x =  - 1 \Rightarrow P = \frac{{2.( - 1) - 7}}{{ - 1 - 3}} = \frac{9}{4}.\)

c) Tìm các giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên.

Ta có \(P = \frac{{2x - 7}}{{x - 3}} = \frac{{2(x - 3) - 1}}{{x - 3}} = 2 - \frac{1}{{x - 3}}\)

\(P \in Z \Leftrightarrow 2 - \frac{1}{{x - 3}} \in Z \Leftrightarrow \frac{1}{{x - 3}} \in Z \Leftrightarrow x - 3 \in U(1) = {\rm{\{ }} - 1;1\} .\).

Bảng giá trị:

Vậy \(x = 2\) hoặc \(x = 4\) thì P nhận giá trị nguyên.