Phương pháp giải:

Phương pháp: Sử dụng định nghĩa của tiệm cận đứng để giải. Cụ thể đối với hàm số \(y = f\left( x \right)\) thì \(x = a\) là tiệm cận đứng khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} y,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} y\)  nhận một trong các giá trị \(- \infty , + \infty .$\)

Lời giải chi tiết:

Lời giải chi tiết.

Để hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{\sqrt {m{{\left( {x - 1} \right)}^2} + 4} }}\) có hai tiệm cận đứng thì ta cần tìm  sao cho tồn tại \({x_0},\,{x_1}\) sao cho \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } y,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } y,\mathop {\lim }\limits_{x \to x_1^ - } y,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to x_1^ + } y\) nhận một trong hai giá trị \(- \infty , + \infty .$\)

Trường hợp 1. Nếu \(m = 0.\) Khi đó \(y = \frac{{x + 1}}{2}.\) Ta có \( - \infty \mathop { < \lim }\limits_{x \to a} y = \frac{{a + 1}}{2} < + \infty \) nên không có tiệm cận đứng nào.

Trường hợp 2.\(m > 0.\)  khi đó \( - \infty < \mathop {\lim }\limits_{x \to a} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{x + 1}}{{\sqrt {m{{\left( {x - 1} \right)}^2} + 4} }} = \frac{{a + 1}}{{\sqrt {m{{\left( {a - 1} \right)}^2} + 4} }} < + \infty \) do đó trường hợp hàm số cũng không có tiệm cận đứng nào.

Trường hợp 3. Khi \(m < 0.\) Ta viết lại \(y = \frac{{x + 1}}{{\sqrt {m{{\left( {x - 1} \right)}^2} + 4} }} = \frac{{x + 1}}{{\sqrt {m\left[ {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + \frac{4}{m}} \right]} }} = \frac{{x + 1}}{{\sqrt {m\left[ {\left( {x - 1 + \frac{2}{{\sqrt { - m} }}} \right)\left( {x - 1 - \frac{2}{{\sqrt { - m} }}} \right)} \right]} }}.\)

Nhìn vào biểu thức cuối ta dự đoán điểm \({x_0},{x_1}\) sẽ tương ứng là \(1 + \frac{2}{{\sqrt { - m} }},1 - \frac{2}{{\sqrt { - m} }}.\) Hơn nữa ta chú ý rằng biểu thức trong dấu căn cần dương nên ta phải có \(\left( {x - 1 + \frac{2}{{\sqrt { - m} }}} \right)\left( {x - 1 - \frac{2}{{\sqrt { - m} }}} \right) < 0 \Leftrightarrow 1 - \frac{2}{{\sqrt { - m} }} < x < 1 + \frac{2}{{\sqrt { - m} }}.\)

Xét giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {1 - \frac{2}{{\sqrt { - m} }}} \right)}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {1 - \frac{2}{{\sqrt { - m} }}} \right)}^ + }} \frac{{x + 1}}{{\sqrt {m\left[ {\left( {x - 1 + \frac{2}{{\sqrt { - m} }}} \right)\left( {x - 1 - \frac{2}{{\sqrt { - m} }}} \right)} \right]} }}.\)

 Nếu \( - 1 + \frac{2}{{\sqrt { - m} }} = 1 \Leftrightarrow \frac{2}{{\sqrt { - m} }} = 2 \Leftrightarrow \sqrt { - m} = 1 \Leftrightarrow m = - 1.\) Thì giới hạn trên có dạng \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{{x + 1}}{{\sqrt { - \left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{{\sqrt {x + 1} }}{{\sqrt {1 - x} }} = 0\) do đó \(x = - 1\) không là tiệm cận đứng của hàm số đã cho.

Nếu \( - 1 + \frac{2}{{\sqrt { - m} }} \ne 1 \Leftrightarrow m \ne - 1.\) Khi đó ta chứng minh được \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {1 - \frac{2}{{\sqrt { - m} }}} \right)}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {1 - \frac{2}{{\sqrt { - m} }}} \right)}^ + }} \frac{{x + 1}}{{\sqrt {m\left[ {\left( {x - 1 + \frac{2}{{\sqrt { - m} }}} \right)\left( {x - 1 - \frac{2}{{\sqrt { - m} }}} \right)} \right]} }} = \infty .\) Do đó \(x = 1 - \frac{2}{{\sqrt { - m} }}\) là một tiệm cận đứng của hàm số đã cho.

Trường hợp \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {1 + \frac{2}{{\sqrt { - m} }}} \right)}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {1 + \frac{2}{{\sqrt { - m} }}} \right)}^ + }} \frac{{x + 1}}{{\sqrt {m\left[ {\left( {x - 1 + \frac{2}{{\sqrt { - m} }}} \right)\left( {x - 1 - \frac{2}{{\sqrt { - m} }}} \right)} \right]} }}.\) Ta có \(1 + \frac{2}{{\sqrt { - m} }} \ne 1,\,\,\forall m < 0.\) Và hơn nữa ta chứng minh được \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {1 + \frac{2}{{\sqrt { - m} }}} \right)}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {1 + \frac{2}{{\sqrt { - m} }}} \right)}^ + }} \frac{{x + 1}}{{\sqrt {m\left[ {\left( {x - 1 + \frac{2}{{\sqrt { - m} }}} \right)\left( {x - 1 - \frac{2}{{\sqrt { - m} }}} \right)} \right]} }} = \infty .\) Do đó \(x = 1 + \frac{2}{{\sqrt { - m} }}\) là một tiệm cận đứng của hàm số đã cho. Ta lại có \(1 - \frac{2}{{\sqrt { - m} }} \ne 1 + \frac{2}{{\sqrt { - m} }},\,\,\forall m < 0.\) Vậy \(1 + \frac{2}{{\sqrt { - m} }},\,1 - \frac{2}{{\sqrt { - m} }}\,\,\left( {m < 0,m \ne - 1} \right)\) là hai tiệm cận đứng của hàm số đã cho.

Chọn đáp án C.