Lời giải chi tiết:

a) Ta có: AB = AM + MB

           AC = AN + NC

Mà AB = AC (do tam giác ABC cân tại A)

        BM = NC ( gt)

Suy ra AN = AM

Xét tam giác AMN có: AM = AN (cmt)

Suy ra tam giác AMN cân tại A. Suy ra \(\widehat{AMN}=\widehat{ANM}\)

Xét tam giác ANM có:     \(\widehat{A}+\widehat{AMN}+\widehat{ANM}={{180}^{0}}\) (tổng ba góc trong một tam giác)

\(\widehat{AMN}=\frac{{{180}^{0}}-\widehat{A}}{2}\) ( vì \(\widehat{AMN}=\widehat{ANM}\) )     (1)

Xét tam giác ABC cân tại A ta có:  \(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}={{180}^{0}}\) (tổng ba góc trong một tam giác)

                                                           \(\widehat{B}=\frac{{{180}^{0}}-\widehat{A}}{2}\)  ( vì \(\widehat{B}=\widehat{C}\))       (2)

Từ (1) và (2) \(\widehat{AMN}=\widehat{B}\)

Mà \(\widehat{AMN},\widehat{B}\) là hai góc đồng vị nên MN // BC.

Xét tứ giác MNCB có MN // BC nên MNCB là hình thang.

Lại có \(\widehat{B}=\widehat{C}\) (\(\Delta ABC\) cân tại A) nên MNCB là hình thang cân.

b. Ta có \(\widehat{B}=\frac{{{180}^{0}}-\widehat{A}}{2}=\frac{{{180}^{0}}-{{40}^{0}}}{2}={{70}^{0}}\)

Ta có : \(\widehat{B}+\widehat{BMN}={{180}^{0}}\) (hai góc trong cùng phía)

            \(\widehat{BMN}={{180}^{0}}-\widehat{B}={{180}^{0}}-{{70}^{0}}={{110}^{0}}\)

Do \(BMNC\) là hình thang cân nên \(\widehat{BMN}=\widehat{MNC}={{110}^{0}}\), \(\widehat{B}=\widehat{C}={{70}^{0}}\)

Vậy \(\widehat{BMN}=\widehat{MNC}={{110}^{0}}\), \(\widehat{B}=\widehat{C}={{70}^{0}}\).

c. Ta có BM = MN khi và chỉ khi \(\widehat{{{N}_{1}}}=\widehat{{{B}_{1}}}={{70}^{0}}\)

                                                \(\Leftrightarrow \widehat{{{B}_{1}}}=\widehat{{{B}_{2}}}\) (vì \(\widehat{{{N}_{1}}}=\widehat{{{B}_{2}}}\))

Tương tự MN = NC khi và chỉ khi \(\widehat {{M_1}} = \widehat {{C_1}} \Leftrightarrow \widehat {{C_1}} = \widehat {{C_2}}\,\,\,\left( {do\,\,\,\widehat {{M_1}} = \widehat {{C_2}}} \right)\)

Như vậy, nếu BN và CM là các đường phân giác của tam giác ABC thì BM = MN = CN.