Phương pháp giải:

Sử dụng hằng đẳng thức ${A^2} - 2AB + {B^2} = {\left( {A - B} \right)^2} \ge 0 \Leftrightarrow  - {\left( {A - B} \right)^2} \le 0$ để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l}P =  - {x^2} - {y^2} + 2x + 4y - 10\\\,\,\,\,\, =  - {x^2} + 2x - 1 - {y^2} + 4y - 4 - 5\\\,\,\,\,\, =  - \left( {{x^2} - 2x + 1} \right) - \left( {{y^2} - 4y + 4} \right) - 5\\\,\,\,\,\, =  - {\left( {x - 1} \right)^2} - {\left( {y - 2} \right)^2} - 5\end{array}$

Do $\left\{ \begin{array}{l} - {\left( {x - 1} \right)^2} \le {\rm{0}}\,\,\,\forall x\\ - {\left( {y - 2} \right)^2} \le {\rm{0}}\,\,\,\forall y\end{array} \right. \Rightarrow P \le  - 5$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - {\left( {x - 1} \right)^2} = 0\\ - {\left( {y - 2} \right)^2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\end{array} \right.$

Vậy $P$ đạt giá trị lớn nhất bằng $- 5$ khi $\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\end{array} \right..$

Chọn D.