Phương pháp giải:

a) Biến đổi \(A\) về dạng tích có chứa thừa số \(32\).

b) Sử dụng tính chất số nguyên tố có thể có dạng \(6k + 1\) hoặc \(6k + 5\).

Lời giải chi tiết:

a) Ta có:

\(\begin{array}{l}A = {9^{23}} + {5.3^{43}}\\A = {\left( {{3^2}} \right)^{23}} + {5.3^{43}}\\A = {3^{46}} + {5.3^{43}}\\A = {3^{43}}\left( {{3^3} + 5} \right)\\A = {3^{43}}.32 \vdots 32\end{array}\)

Vậy \(A\,\, \vdots \,\,32\).

b) Nếu \(p = 5\) thì \(\left( {5 - 1} \right)\left( {5 + 1} \right) = 4.6 = 24 \vdots 24\) (đúng).

Nếu \(p > 5\) thì \(p\) có dạng \(6k + 1\) hoặc \(6k + 5\).

+) Nếu \(p = 6k + 1\) thì \(\left( {p - 1} \right)\left( {p + 1} \right)\) \( = \left( {6k + 1 - 1} \right)\left( {6k + 1 + 1} \right)\) \( = 6k.\left( {6k + 2} \right)\)

\( = 6k.2\left( {3k + 1} \right) = 12k\left( {3k + 1} \right)\)

Nếu \(k\) chẵn thì \(12k \vdots 24\) nên \(12k\left( {3k + 1} \right) \vdots 24\) hay \(\left( {p - 1} \right)\left( {p + 1} \right) \vdots 24\)

Nếu \(k\) lẻ thì \(3k + 1\) chẵn nên \(12k\left( {3k + 1} \right) \vdots 24\) hay \(\left( {p - 1} \right)\left( {p + 1} \right) \vdots 24\)

Do đó nếu \(p = 6k + 1\) thì \(\left( {p - 1} \right)\left( {p + 1} \right) \vdots 24\)

+) Nếu \(p = 6k + 5\) thì \(\left( {p - 1} \right)\left( {p + 1} \right)\) \( = \left( {6k + 5 - 1} \right)\left( {6k + 5 + 1} \right)\) \( = \left( {6k + 4} \right).\left( {6k + 6} \right)\)