Phương pháp giải:

- Gọi số sách cần tìm là \(x\), tìm điều kiện của \(x\).

- Sử dụng kiến thức về bội chung để tìm \(x\).

Lời giải chi tiết:

Gọi số sách cần tìm là \(x\) (cuốn sách) , \(350 \le x \le 400,\,\,x \in \mathbb{N}.\)

Vì số sách xếp từng bó \(10,12,15\) cuốn đều thừa \(2\) cuốn nên \(\left( {x - 2} \right)\,\,\, \vdots \,\,10;\,\,\left( {x - 2} \right)\,\,\, \vdots \,\,\,12;\,\,\,\left( {x - 2} \right)\,\,\, \vdots \,\,15.\)

Do đó \(x - 2 \in BC\left( {10,12,15} \right)\).

Ta có: \(\left. \begin{array}{l}10 = 2.5\\12 = {2^2}.3\\15 = 3.5\end{array} \right\}\) \( \Rightarrow BCNN\left( {10,12,15} \right) = {2^2}.3.5 = 60\)

\( \Rightarrow BC\left( {10,12,15} \right) = B\left( {60} \right) = \left\{ {0;\,\,60;\,\,120;\,\,180;\,\,240;\,\,300;\,\,360;\,\,420;...} \right\}\)  

\( \Rightarrow x - 2 \in \left\{ {0;\,\,60;\,\,120;\,\,180;\,\,240;\,\,300;\,\,\,360;\,\,420;...} \right\}\)

Mà \(350 \le x \le 400\) nên \(348 \le x - 2 \le 398\) hay \(x - 2 = 360\)

\( \Rightarrow x = 360 + 2 = 362\) cuốn.

Vậy số sách cần tìm là \(362\) cuốn.

Chọn C.