Phương pháp giải:

a) Đồ thị hàm số \(y = ax + b\,\left( {a \ne 0} \right)\) là đường thẳng đi qua hai điểm có tọa độ \(\left( { - \frac{b}{a};0} \right)\) và \(\left( {0;b} \right)\)

b) Giải phương trình hoành độ giao điểm để tìm \(x\), từ đó thay trở lại hàm số để tìm tung độ giao điểm\(y.\)

c) Tìm điều kiện để ba đường thẳng cắt nhau.

Thay tọa độ giao điểm vừa tìm được ở câu \(b\) vào hàm số \(y = mx + 5\) ta tìm được \(m.\)

Lời giải chi tiết:

Cho đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right):y = 2x + 2\)

a) Vẽ đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy.\)

Cho \(x = 0 \Rightarrow y = 2\)

\(y = 0 \Rightarrow x =  - 1\)

Đồ thị hàm số \(y = 2x + 2\) là đường thẳng đi qua hai điểm có tọa độ \(\left( {0;2} \right)\)và \(\left( { - 1;0} \right)\)

b) Tìm tọa độ giao điểm của \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right):y = x - 3.\)

Xét phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\) ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,2x + 2 = x - 3\\ \Leftrightarrow 2x - x =  - 3 - 2\\ \Leftrightarrow x =  - 5\end{array}\)

Thay \(x =  - 5\) vào hàm số \(y = x - 3\) ta được \(y =  - 5 - 3 =  - 8\)

Vậy tọa độ giao điểm của \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\) là \(\left( { - 5; - 8} \right)\).

c) Cho đường thẳng \(\left( {{d_3}} \right):y = mx + 5.\) Tìm giá trị của \(m\) để ba đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right),\left( {{d_2}} \right),\,\left( {{d_3}} \right)\) cắt nhau tại một điểm.

Để ba đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right),\left( {{d_2}} \right),\left( {{d_3}} \right)\) cắt nhau thì \(m \ne \left\{ {1;2} \right\}\)

Theo câu b) ta có tọa độ giao điểm của \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\) là \(\left( { - 5; - 8} \right)\).

Để ba đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right),\left( {{d_2}} \right),\left( {{d_3}} \right)\) đồng quy thì điểm có tọa độ \(\left( { - 5; - 8} \right)\) cũng thuộc đường thẳng \(\left( {{d_3}} \right).\)

Thay \(x =  - 5;y =  - 8\) vào hàm số \(y = mx + 5\) ta được: \( - 8 = m\left( { - 5} \right) + 5 \Leftrightarrow m = \frac{{13}}{5}\) (thỏa mãn)

Vậy \(m = \frac{{13}}{5}.\)

Chọn B.