Phương pháp giải:

Câu này thuộc dạng bài toán ngược của bài toán tính tổng dãy lũy thừa cùng cơ số nên ta sẽ dựa vào bài toán tính tổng dãy lũy thừa có cùng cơ số để giải.

Lời giải chi tiết:

Xét tổng \(S = 1 + 2009 + {2009^2} + {2009^3} + ... + {2009^{2008}}\,\,\,\,\left( {S \in \mathbb{N}} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 2009.S = 2009 + {2009^2} + {2009^3} + ... + {2009^{2008}} + 2009{}^{2009}\\ \Rightarrow 2009.S - S = {2009^{2009}} - 1\\ \Rightarrow S = \frac{{{{2009}^{2009}} - 1}}{{2008}}\end{array}\)

Vì \(S \in \mathbb{N} \Rightarrow \frac{{{{2009}^{2009}} - 1}}{{2008}} \in \mathbb{N} \Rightarrow {2009^{2009}} - 1\,\, \vdots \,\,2008\)

Vậy \({2009^{2009}} - 1\,\, \vdots \,\,2008.\)