Phương pháp giải:

+) Thiết diện qua trục của một của một hình nón là một tam giác đều cạnh có độ dài \(a \Rightarrow l = a;\,\,R = \dfrac{a}{2}\).

+) \({l^2} = {h^2} + {R^2} \Rightarrow \) Tính chiều cao \(h\) của hình nón.

+) Sử dụng công thức tính thể tích khối nón \(V = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}h\).

Lời giải chi tiết:

Thiết diện qua trục của một của một hình nón là một tam giác đều cạnh có độ dài \(2a \Rightarrow l = 2a;\,\,R = a\).

\( \Rightarrow h = \sqrt {{l^2} - {R^2}}  = \sqrt {4{a^2} - {a^2}}  = a\sqrt 3 \).

Vậy \(V = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}h = \dfrac{1}{3}\pi .{a^2}a\sqrt 3  = \dfrac{{\pi {a^3}\sqrt 3 }}{3}\).

Chọn C