Tìm \(m\) để phương trình \({x^2} - 2x + 3m = 0\) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \(0 < {x_1} < {x_2} < \sqrt 2 .\)
-
A.
\(\dfrac{{2\sqrt 2 - 2}}{3} < m < \frac{1}{3}\)
-
B.
\(0 < m < \dfrac{1}{3}\)
-
C.
\(m > \dfrac{2\sqrt{2} - 2}{3}\)
-
D.
\(m > 0\)
Tìm điều kiện để phương trình đã cho có nghiệm.
Sử dụng hệ thức Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1}{x_2} = 3m\\{x_1} + {x_2} = 2\end{array} \right..\)
Theo đề bài ta có: \(0 < {x_1} < {x_2} < \sqrt 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} > 0\\{x_1} + {x_2} < 2\sqrt 2 \\{x_1}{x_2} > 0\\\left( {{x_1} - \sqrt 2 } \right)\left( {{x_2} - \sqrt 2 } \right) > 0\end{array} \right..\)
Phương trình đã cho có hai nghiệm \({x_1},\,\,{x_2}\) phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta ' > 0 \Leftrightarrow 1 - 3m > 0 \Leftrightarrow m < \frac{1}{3}.\)
Theo hệ thức Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1}{x_2} = 3m\\{x_1} + {x_2} = 2\end{array} \right..\)
Theo đề bài ta có: \(0 < {x_1} < {x_2} < \sqrt 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} > 0\\{x_1} + {x_2} < 2\sqrt 2 \\{x_1}{x_2} > 0\\\left( {{x_1} - \sqrt 2 } \right)\left( {{x_2} - \sqrt 2 } \right) > 0\end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} > 0\\{x_1} + {x_2} < 2\sqrt 2 \\{x_1}{x_2} > 0\\{x_1}{x_2} - \sqrt 2 \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 2 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 > 0\\2 < 2\sqrt 2 \\3m > 0\\3m - 2\sqrt 2 + 2 > 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 0\\m > \frac{{2\sqrt 2 - 2}}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow m > \frac{{2\sqrt 2 - 2}}{3}\)
Kết hợp với điều kiện có nghiệm của phương trình ta được \(\frac{{2\sqrt 2 - 2}}{3} < m < \frac{1}{3}\) thỏa mãn bài toán.
Đáp án : A
Các bài tập cùng chuyên đề
Chọn phát biểu đúng. Phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)$ có hai nghiệm ${x_1};{x_2}$. Khi đó
Chọn phát biểu đúng. Phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)$ có $a - b + c = 0$. Khi đó
Cho hai số có tổng là $S$ và tích là $P$ với ${S^2} \ge 4P$. Khi đó hai số đó là hai nghiệm của phương trình nào dưới đây?
Không giải phương trình, tính tổng hai nghiệm (nếu có) của phương trình ${x^2} - 6x + 7 = 0$
Gọi ${x_1};{x_2}$ là nghiệm của phương trình ${x^2} - 5x + 2 = 0$. Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức $A = x_1^2 + x_2^2$
Gọi ${x_1};{x_2}$ là nghiệm của phương trình $ - 2{x^2} - 6x - 1 = 0$. Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức $N = \dfrac{1}{{{x_1} + 3}} + \dfrac{1}{{{x_2} + 3}}$
Gọi ${x_1};{x_2}$ là nghiệm của phương trình ${x^2} - 20x - 17 = 0$. Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức $C = x_1^3 + x_2^3$
Biết rằng phương trình $\left( {m - 2} \right){x^2} - \left( {2m + 5} \right)x + m + 7 = 0\,\left( {m \ne 2} \right)$ luôn có nghiệm ${x_1};{x_2}$ với mọi $m$. Tìm ${x_1};{x_2}$ theo $m$.
Tìm hai nghiệm của phương trình $18{x^2} + 23x + 5 = 0$ sau đó phân tích đa thức $A = 18{x^2} + 23x + 5$ sau thành nhân tử.
Tìm $u - v$ biết rằng $u + v = 15,uv = 36$ và $u > v$
Lập phương trình nhận hai số $3 - \sqrt 5 $ và $3 + \sqrt 5 $ làm nghiệm.
Biết rằng phương trình \({x^2} - \left( {2a - 1} \right)x - 4a - 3 = 0\) luôn có hai nghiệm ${x_1};{x_2}$ với mọi $a$. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào \(a\).
Tìm các giá trị của \(m\) để phương trình \({x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x - m + 2 = 0\) có hai nghiệm trái dấu.
Tìm các giá trị của \(m\) để phương trình \({x^2} - 2\left( {m - 3} \right)x + 8 - 4m = 0\) có hai nghiệm âm phân biệt.
Tìm các giá trị nguyên của \(m\) để phương trình \({x^2} - 6x + 2m + 1 = 0\) có hai nghiệm dương phân biệt
Tìm các giá trị của \(m\) để phương trình \(m{x^2} - 2\left( {m - 2} \right)x + 3\left( {m - 2} \right) = 0\) có hai nghiệm phân biệt cùng dấu.
Tìm các giá trị của \(m\) để phương trình \({x^2} - mx - m - 1 = 0\) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn: \(x_1^3 + x_2^3 = - 1\).
Tìm các giá trị của \(m\) để phương trình \({x^2} - 5x + m + 4 = 0\) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn: \(x_1^2 + x_2^2 = 23\).
Giá trị nào dưới đây gần nhất với giá trị của \(m\)để phương trình \({x^2} + 3x - m = 0\) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn: \(2{x_1} + 3{x_2} = 13\).
Tìm giá trị của \(m\) để phương trình \({x^2} + (4m + 1)x + 2(m - 4) = 0\) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) và biểu thức \(A = {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất.
