Tìm \(m\) để phương trình \({x^2} - 2x + 3m = 0\) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \(0 < {x_1} < {x_2} < \sqrt 2 .\)

Phương trình đã cho có hai nghiệm \({x_1},\,\,{x_2}\) phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta ' > 0 \Leftrightarrow 1 - 3m > 0 \Leftrightarrow m < \frac{1}{3}.\)

Theo hệ thức Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1}{x_2} = 3m\\{x_1} + {x_2} = 2\end{array} \right..\)

Theo đề bài ta có: \(0 < {x_1} < {x_2} < \sqrt 2  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} > 0\\{x_1} + {x_2} < 2\sqrt 2 \\{x_1}{x_2} > 0\\\left( {{x_1} - \sqrt 2 } \right)\left( {{x_2} - \sqrt 2 } \right) > 0\end{array} \right.\)

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} > 0\\{x_1} + {x_2} < 2\sqrt 2 \\{x_1}{x_2} > 0\\{x_1}{x_2} - \sqrt 2 \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 2 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 > 0\\2 < 2\sqrt 2 \\3m > 0\\3m - 2\sqrt 2  + 2 > 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 0\\m > \frac{{2\sqrt 2  - 2}}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow m > \frac{{2\sqrt 2  - 2}}{3}\)

Kết hợp với điều kiện có nghiệm của phương trình ta được  \(\frac{{2\sqrt 2  - 2}}{3} < m < \frac{1}{3}\) thỏa mãn bài toán.