Cho phương trình \({x^2} - 2mx - 4m - 5 = 0\) (1) (\(m\) là tham số).

Thay \(m =  - 2\) vào phương trình (1) ta có: \({x^2} + 4x + 3 = 0\).

Nhận xét thấy \(a - b + 3 = 1 - 4 + 3 = 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \(\left[ \begin{array}{l}{x_1} =  - 1\\{x_2} =  - \dfrac{c}{a} =  - 3\end{array} \right.\).

Vậy khi \(m =  - 2\) thì tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ { - 1; - 3} \right\}\).

\(\dfrac{1}{2}x_1^2 - \left( {m - 1} \right){x_1}{\kern 1pt}  + {x_2} - 2m + \dfrac{{33}}{2} = 4059\).

Phương trình (1) có \(\Delta ' = {m^2} - \left( {4m - 5} \right) = {m^2} + 4m + 5 = {\left( {m + 2} \right)^2} + 1 > 0\,\,\forall m\).

Do đó phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) với mọi \(m\).

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m\\{x_1}{x_2} =  - 4m - 5\end{array} \right.\).

Theo bài ra ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\dfrac{1}{2}x_1^2 - \left( {m - 1} \right){x_1}{\kern 1pt}  + {x_2} - 2m + \dfrac{{33}}{2} = 4059\\ \Leftrightarrow x_1^2 - 2\left( {m - 1} \right){x_1}{\kern 1pt}  + 2{x_2} - 4m + 33 = 8118\\ \Leftrightarrow x_1^2 - 2m{x_1} + 2{x_1}{\kern 1pt}  + 2{x_2} - 4m = 8085\\ \Leftrightarrow x_1^2 - 2m{x_1} - 4m - 5 + 2{x_1}{\kern 1pt}  + 2{x_2} = 8085 - 5\\ \Leftrightarrow \left( {x_1^2 - 2m{x_1} - 4m - 5} \right) + 2\left( {{x_1}{\kern 1pt}  + {x_2}} \right) = 8080\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Vì \({x_1}\) là nghiệm của phương trình (1) nên ta có: \(x_1^2 - 2m{x_1} - 4m - 5 = 0\).

Do đó:

\(\begin{array}{l}\left( * \right) \Leftrightarrow 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 8080\\\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow {x_1} + {x_2} = 4040\\\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow 2m = 4040\\\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow m = 2020\end{array}\)

Vậy \(m = 2020\).