Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi tâm $I$, cạnh $a$, góc $\widehat {BAD} = {60^0}$, $SA = SB = SD = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}$. Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai mặt phẳng $\left( {SBD} \right)$ và $\left( {ABCD} \right).$ Mệnh đề nào sau đây đúng?
-
A.
$\tan \varphi = \sqrt 5 .$
-
B.
$\tan \varphi = \dfrac{{\sqrt 5 }}{5}.$
-
C.
$\tan \varphi = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}.$
-
D.
$\varphi = {45^0}.$
Sử dụng phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng và áp dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông
Từ giả thiết suy ra tam giác $ABD$ đều cạnh $a$.
Gọi $H$ là hình chiếu của $S$ trên mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$.
Do $SA = SB = SD$ nên suy ra $H$ là tâm của tam gác đều $ABD$.
Suy ra $AH = \dfrac{2}{3}AI = \dfrac{2}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3},HI = \dfrac{1}{3}AI = \dfrac{1}{3}\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}$
và $SH = \sqrt {S{A^2} - A{H^2}} = \dfrac{{a\sqrt {15} }}{6}.$
Vì $ABCD$ là hình thoi nên $HI \bot BD$. Tam giác $SBD$ cân tại $S$ nên $SI \bot BD$. Do đó $\widehat {\left( {SBD} \right);\left( {ABCD} \right)} = \widehat {\left( {SI;AI} \right)} = \widehat {SIH}.$.
Trong tam vuông $SHI$, có $\tan \widehat {SIH} = \dfrac{{SH}}{{HI}} = \sqrt 5 .$
Đáp án : A
