Đường thẳng đối xứng với đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y =  - 2 + t\end{array} \right.\) qua đường thẳng \(\Delta :2{\rm{x}} + y + 6 = 0\) có phương trình là

\(d:\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y =  - 2 + t\end{array} \right. \Rightarrow x - 2y - 5 = 0 \Rightarrow \overrightarrow {{n_1}}  = \left( {1; - 2} \right)\).

Ta có: \(\Delta :\,\,\,2x + y + 6 = 0 \Rightarrow \overrightarrow {{n_2}}  = \left( {2;1} \right)\).

Xét: \(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}}  = 1.2 + \left( { - 2} \right).1 = 0\) \( \Rightarrow \) Đường thẳng \(d \bot \Delta .\)

Vậy đường thẳng đối xứng với \(d\) qua \(\Delta \) vẫn chính là \(d:\,\,x - 2y - 5 = 0\).