Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các số tự nhiên có \(4\) chữ số đôi một khác nhau và các chữ số thuộc tập hợp \(\left\{ {1,2,3,4,5,6,7} \right\}\). Chọn ngẫu nhiên một số thuộc \(S\), xác suất để số đó không có hai chữ số liên tiếp nào cùng chẵn bằng

Số phần tử của tập S là \(A_7^4 = 840\).

Để số có 4 chữ số đôi một khác nhau không có 2 chữ số chẵn liên tiếp thì:

TH1: 4 chữ số đều lẻ.

{1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} có 4 chữ số lẻ nên ta có số các số có 4 chữ số lẻ thuộc S là 4! = 24.

TH2: 3 chữ số lẻ và 1 chữ số chẵn.

Số cách chọn 3 chữ số lẻ là \(C_4^3 = 4\).

Số cách chọn 1 chữ số chẵn là \(C_3^1 = 3\).

Hoán vị 4 chữ số trên là 4! = 24.

Vậy số các số có 3 chữ số lẻ và 1 chữ số chẵn thuộc S là 4.3.24 = 288.

TH3: 2 chữ số chẵn và 2 chữ số lẻ.

Số cách chọn 2 chữ số lẻ là \(C_4^2 = 6\).

Số cách chọn 2 chữ số chẵn là \(C_3^2 = 3\).

Với mỗi bộ 2 số chẵn và 2 số lẻ được chọn, để 2 số chẵn không đứng cạnh nhau thì ta có các trường hợp CLCL, CLLC, LCLC. Với mỗi trường hợp trên ta có 2! = 2 cách sắp xếp các số lẻ và 2! = 2 cách sắp xếp các số chẵn nên có 3.2.2 = 12 số thỏa mãn.

Vậy số các số có 2 chữ số lẻ và 2 chữ số chẵn thuộc S là 6.3.12 = 216.

* Không tính trường hợp có 3 hoặc 4 chữ số chẵn vì khi đó chắc chắn có 2 chữ số chẵn đứng liền nhau.

Số các số thuộc S mà không có 2 chữ số chẵn liên tiếp là: 24 + 288 + 216 = 528.

Xác suất cần tìm là \(\frac{{528}}{{840}} = \frac{{22}}{{35}}\).