Cho tứ diện \(ABCD\) có cạnh \(AD\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\), tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) có cạnh \(AB = 3\), \(BC = 4\)và góc giữa \(DC\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) bằng \({45^0}\). Tính thể tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.
-
A.
\(V = \dfrac{{125\sqrt 3 }}{3}\pi \)
-
B.
\(V = \dfrac{{25\sqrt 2 }}{3}\pi \)
-
C.
\(V = \dfrac{{125\sqrt 2 }}{3}\pi \)
-
D.
\(V = \dfrac{{5\sqrt 2 }}{3}\pi \)
- Chứng minh tam giác \(BCD\) vuông tại \(B\), từ đó tìm tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.
- Xác định góc giữa \(DC\) và \(\left( {ABC} \right)\) là góc giữa \(DC\) và hình chiếu của \(DC\) lên \(\left( {ABC} \right)\).
- Sử dụng định lí Pytago, tính chất tam giác vuông cân tính bán kính mặt cầu.
- Tính thể tích khối cầu có bán kính R là : \(V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3}\).
Ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot BA\\BC \bot DA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {ABD} \right)\)\( \Rightarrow BC \bot BD\)\( \Rightarrow \Delta BCD\) vuông tại B.
Gọi I là trung điểm của CD thì \(IB = IC = ID = \dfrac{1}{2}CD\).
Tam giác ACD vuông tại A nên \(IA = IC = ID = \dfrac{1}{2}CD\).
Do đó \(IA = IB = IC = ID \Rightarrow I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(ABCD\).
Tam giác ABC vuông tại B nên \(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {{3^2} + {4^2}} = 5\) (Định lí Pytago).
Vì \(DA \bot \left( {ABC} \right)\) nên \(AC\) là hình chiếu của \(DC\) lên \(\left( {ABC} \right)\).
\( \Rightarrow \angle \left( {DC;\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {DC;AC} \right) = \angle DCA = {45^0}\).
Tam giác \(DAC\) vuông tại \(A\) có \(\widehat {DCA} = {45^0}\) nên là tam giác vuông cân \( \Rightarrow DC = AC\sqrt 2 = 5\sqrt 2 \).
\( \Rightarrow R = IA = \dfrac{1}{2}DC = \dfrac{{5\sqrt 2 }}{2}\).
Vậy thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện \(ABCD\) là : \(V = \dfrac{4}{3}\pi I{A^3} = \dfrac{4}{3}\pi .{\left( {\dfrac{{5\sqrt 2 }}{2}} \right)^3} = \dfrac{{125\sqrt 2 }}{3}\pi \).
Đáp án : C
Các bài tập cùng chuyên đề
Mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện nếu nó:
Trục đa giác đáy là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng đáy tại:
Tập hợp các điểm cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng là:
Hình nào sau đây không có mặt cầu ngoại tiếp?
Số mặt cầu ngoại tiếp tứ diện là:
Hình chóp nào sau đây luôn nội tiếp được mặt cầu?
Cho hình chóp tam giác \(S.ABC\) có \(\widehat {SAC} = \widehat {SBC} = {90^0}\). Khi đó tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp nằm trên đường thẳng nào?
Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác đều nằm ở đâu?
Cho hình chóp đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(a\), cạnh bên \(b\). Công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp là:
Công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy là:
Công thức tính diện tích mặt cầu là:
Khối cầu thể tích \(V\) thì bán kính là:
Ba đoạn thẳng $SA,SB,SC$ đôi một vuông góc tạo với nhau thành một tứ diện $SABC$ với $SA = a,SB = 2a,SC = 3a$ . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình tứ diện đó là
Hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$ có $SA$ vuông góc với mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ và có $SA = a,AB = b,AC = c$. Mặt cầu đi qua các đỉnh $A,B,C,S$ có bán kính $r$ bằng :
Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh bằng $1$, mặt bên $SAB$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích $V$ của khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.
Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$, cạnh \(SA = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}\) . Gọi $D$ là điểm đối xứng của $B$ qua $C$. Tính bán kính $R$ của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABD$
Cho tứ diện đều $ABCD$ có cạnh $a$. Một mặt cầu tiếp xúc với các mặt của tứ diện có bán kính là:
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, \(AB = a,\,AD = 2a\), \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) và \(SA = 2a\). Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABCD\).
Cho lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy là tam giác vuông cân đỉnh $A,AB = AC = a,AA' = a\sqrt 2 $. Diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $CA'B'C'$ là:
Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \bot (ABC);AC = b,AB = c,\widehat {BAC} = \alpha $. Gọi $B',C'$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $SB,SC$. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp $A.{\rm{ }}BCC'B'$ theo $b,c,\alpha $
