Cho hàm số \(f\left( x \right)\) là hàm số chẵn và liên tục trên \(\left[ { - 1;1} \right]\) thỏa mãn: \(\int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)dx}  = \dfrac{{86}}{{15}}\) và \(f\left( 1 \right) = 5\). Khi đó \(\int\limits_0^1 {xf'\left( x \right)dx} \) bằng:

Vì \(f\left( x \right)\) là hàm số chẵn và liên tục trên \(\left[ { - 1;1} \right]\) nên \(\int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)dx}  = 2\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx}  = \dfrac{{86}}{{15}}\) \( \Rightarrow \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx}  = \dfrac{{43}}{{15}}\).

Xét tích phân \(I = \int\limits_0^1 {xf'\left( x \right)dx} \).

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = f'\left( x \right)dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = f\left( x \right)\end{array} \right.\), khi đó ta có:

\(I = \left. {xf\left( x \right)} \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx}  = f\left( 1 \right) - \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx}  = 5 - \dfrac{{43}}{{15}} = \dfrac{{32}}{{15}}\).