Biết \(I = \int_1^2 {\frac{{dx}}{{\left( {x + 1} \right)\sqrt x + x\sqrt {x + 1} }} = \sqrt a - \sqrt b - c} \) với \(a,b,c\) là các số nguyên dương. Giá trị \(a + b + c\) bằng:
-
A.
\(24\)
-
B.
\(12\)
-
C.
\(18\)
-
D.
\(46\)
Áp dụng công thức tính nguyên hàm: \(\int {\frac{1}{{\sqrt {ax + b} }}dx = \frac{2}{a}{{\left( {ax + b} \right)}^{\frac{1}{2}}} + C} \).
Ta có \(I = \int_1^2 {\frac{{dx}}{{\left( {x + 1} \right)\sqrt x + x\sqrt {x + 1} }}} \)
\( \Rightarrow I = \int_1^2 {\frac{{dx}}{{\sqrt {\left( {x + 1} \right)x} \left( {\sqrt {x + 1} + \sqrt x } \right)}}} \)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int_1^2 {\frac{{\left( {\sqrt {x + 1} - \sqrt x } \right)dx}}{{\sqrt {\left( {x + 1} \right)x} }}} \\ \Leftrightarrow I = \int_1^2 {\left[ {\frac{1}{{\sqrt x }} - \frac{1}{{\sqrt {x + 1} }}} \right]dx} \\ \Leftrightarrow I = \left. {\left[ {2\sqrt x - 2\sqrt {x + 1} } \right]} \right|_1^2\\ \Rightarrow I = \sqrt {32} - \sqrt {12} - 2\end{array}\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 32\\b = 12\\c = 2\end{array} \right. \Rightarrow a + b + c = 46\)
Đáp án : D
Các bài tập cùng chuyên đề
Cho số thực \(a\) thỏa mãn \(\int\limits_{ - 1}^a {{e^{x + 1}}dx} = {e^2} - 1\), khi đó \(a\) có giá trị bằng
Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào có tích phân trên đoạn \([0;\pi ]\) đạt giá trị bằng \(0\) ?
Trong các tích phân sau, tích phân nào có giá trị khác \(2\)?
Tích phân \(I = \int\limits_2^5 {\dfrac{{dx}}{x}} \) có giá trị bằng
Tích phân \(I = \int\limits_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}} {\dfrac{{dx}}{{\sin x}}} \) có giá trị bằng
Nếu \(\int\limits_{ - 2}^0 {\left( {4 - {e^{ -{\frac{x}{2}}}}} \right)dx} = K - 2e\) thì giá trị của \(K\) là
Tích phân \(I = \int\limits_0^1 {\dfrac{1}{{{x^2} - x - 2}}dx} \) có giá trị bằng
Tích phân \(\int\limits_0^3 {x(x - 1) dx} \) có giá trị bằng với giá trị của tích phân nào trong các tích phân dưới đây ?
Tích phân \(I = \int\limits_1^2 {{x^5}} dx\) có giá trị là:
Tích phân $I = \int\limits_0^1 {\dfrac{{xdx}}{{{{(x + 1)}^3}}}} $ bằng
Cho hai tích phân $I = \int\limits_0^2 {{x^3}dx} $, $J = \int\limits_0^2 {xdx} $. Tìm mối quan hệ giữa $I$ và $J$
Tích phân $I = \int_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\dfrac{{4{{\sin }^3}x}}{{1 + \cos x}}} dx$ có giá trị bằng
Tích phân $I = \int\limits_0^{2\pi } {\sqrt {1 + \sin x} } dx$ có giá trị bằng
Tích phân $\int\limits_{ - 1}^5 {\left| {{x^2} - 2x - 3} \right|} dx$ có giá trị bằng:
Tích phân $\int\limits_2^3 {\dfrac{{{x^2} - x + 4}}{{x + 1}}} dx$ bằng
Giá trị của tích phân $I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x} \right)\left( {{{\sin }^6}x + {{\cos }^6}x} \right)dx} $ là:
Tìm hai số thực \(A,B\) sao cho $f(x) = A\sin \pi x + B$, biết rằng \(f'(1) = 2\) và \(\int\limits_0^2 {f(x)dx = 4} \).
Giá trị của a để đẳng thức \(\int\limits_1^2 {\left[ {{a^2} + (4 - 4a)x + 4{x^3}} \right]dx} = \int\limits_2^4 {2xdx} \) là đẳng thức đúng
Giá trị của tích phân$I = \int\limits_0^2 {\min \left\{ {1,{x^2}} \right\}dx} $ là
Giá trị của tích phân $\int\limits_0^{2017\pi } {\sqrt {1 - \cos 2x} dx} $ là
