Biết \(I = \int_1^2 {\frac{{dx}}{{\left( {x + 1} \right)\sqrt x + x\sqrt {x + 1} }} = \sqrt a - \sqrt b - c} \) với \(a,b,c\) là các số nguyên dương. Giá trị \(a + b + c\) bằng:
-
A.
\(24\)
-
B.
\(12\)
-
C.
\(18\)
-
D.
\(46\)
Áp dụng công thức tính nguyên hàm: \(\int {\frac{1}{{\sqrt {ax + b} }}dx = \frac{2}{a}{{\left( {ax + b} \right)}^{\frac{1}{2}}} + C} \).
Ta có \(I = \int_1^2 {\frac{{dx}}{{\left( {x + 1} \right)\sqrt x + x\sqrt {x + 1} }}} \)
\( \Rightarrow I = \int_1^2 {\frac{{dx}}{{\sqrt {\left( {x + 1} \right)x} \left( {\sqrt {x + 1} + \sqrt x } \right)}}} \)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int_1^2 {\frac{{\left( {\sqrt {x + 1} - \sqrt x } \right)dx}}{{\sqrt {\left( {x + 1} \right)x} }}} \\ \Leftrightarrow I = \int_1^2 {\left[ {\frac{1}{{\sqrt x }} - \frac{1}{{\sqrt {x + 1} }}} \right]dx} \\ \Leftrightarrow I = \left. {\left[ {2\sqrt x - 2\sqrt {x + 1} } \right]} \right|_1^2\\ \Rightarrow I = \sqrt {32} - \sqrt {12} - 2\end{array}\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 32\\b = 12\\c = 2\end{array} \right. \Rightarrow a + b + c = 46\)
Đáp án : D
