Cho \({\log _a}\left( {\dfrac{{\sqrt[3]{{{a^7}}}.{a^{\frac{{11}}{3}}}}}{{{a^4}.\sqrt[7]{{{a^{ - 5}}}}}}} \right) = \dfrac{m}{n}\) với \(a > 0,\,\,m,\,\,n \in {\mathbb{N}^*}\) và \(\dfrac{m}{n}\) là phân số tối giản. Khẳng định nào sau đây đúng?
-
A.
\({m^2} - {n^2} = 312\)
-
B.
\({m^2} + {n^2} = 543\)
-
C.
\({m^2} - {n^2} = - 312\)
-
D.
\({m^2} + {n^2} = 409\)
\({x^m}.{x^n} = {x^{m + n}},\,\,\dfrac{{{x^m}}}{{{x^n}}} = {x^{m - n}},\,\,\sqrt[m]{{{x^n}}} = {x^{\frac{n}{m}}}\) (giả sử các biểu thức là có nghĩa).
\({\log _a}{x^m} = m{\log _a}x\) (giả sử các biểu thức là có nghĩa).
Đặt \(A = \dfrac{{\sqrt[3]{{{a^7}}}.{a^{\frac{{11}}{3}}}}}{{{a^4}.\sqrt[7]{{{a^{ - 5}}}}}} = \dfrac{{{a^{\frac{7}{3}}}.{a^{\frac{{11}}{3}}}}}{{{a^4}.{a^{ - \frac{5}{7}}}}} = \dfrac{{{a^6}}}{{{a^{\frac{{23}}{7}}}}} = {a^{\frac{{19}}{7}}}\).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {\log _a}A = {\log _a}{a^{\frac{{19}}{7}}} = \dfrac{{19}}{7} = \dfrac{m}{n}\\ \Rightarrow m = 19,\,\,n = 7\,\,\left( {tm} \right).\end{array}\)
Vậy \({m^2} - {n^2} = {19^2} - {7^2} = 312\).
Đáp án : A
Danh sách bình luận