Cho đồ thị hàm số $\left( C \right):\,\,y = \dfrac{{x + 1}}{{x - 2}}$ và đường thẳng \(d:\,\,y = x + m\). Khi đường thẳng cắt đồ thị \(\left( C \right)\) tại hai điểm phân biệt và tiếp tuyến với \(\left( C \right)\) tại hai điểm này song song với nhau thì $m$ sẽ thuộc khoảng nào sau đây ?
-
A.
\(\left( { - 4; - 2} \right)\)
-
B.
\(\left( { - 2;0} \right)\)
-
C.
\(\left( {0;2} \right)\)
-
D.
\(\left( {2;4} \right)\)
Xét phương trình hoành độ giao điểm, tìm điều kiện để phương trình hoành độ giao điểm có 2 nghiệm phân biệt.
Sử dụng định lí Vi-et suy ra tổng các nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm.
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(\left( C \right)\) tại $A$ và $B$ song song với nhau \( \Leftrightarrow y'\left( {{x_A}} \right) = y'\left( {{x_B}} \right)\)
Ta có : \(y' = \dfrac{{ - 3}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\)
Xét phương trình hoành độ giao điểm
$\dfrac{{x + 1}}{{x - 2}} = x + m\left( {x \ne 2} \right) $ $\Leftrightarrow x + 1 = {x^2} + mx - 2x - 2m $ $\Leftrightarrow {x^2} + \left( {m - 3} \right)x - 2m - 1 = 0\left( * \right)$
Đồ thị hàm số $\left( C \right):\,\,y = \dfrac{{x + 1}}{{x - 2}}$ và đường thẳng \(d:\,\,y = x + m\) cắt nhau tại hai điểm phân biệt $A,B$ khi và chỉ phương trình (*) có $2$ nghiệm phân biệt khác $ 2$
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta = {\left( {m - 3} \right)^2} + 4\left( {2m + 1} \right) > 0\\4 + 2m - 6 - 2m - 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} + 2m + 13 > 0\\ - 3 \ne 0\end{array} \right. \Rightarrow m \in \mathbb{R}\)
Giả sử phương trình (*) có $2$ nghiệm phân biệt \({x_A};{x_B}\,\,\left( {{x_A} \ne {x_B}} \right)\), theo định lí Vi-et ta có : \({x_A} + {x_B} = 3 - m\)
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(\left( C \right)\) tại $A$ và $B$ song song với nhau \( \Leftrightarrow y'\left( {{x_A}} \right) = y'\left( {{x_B}} \right)\)
Ta có : \(y' = \dfrac{{ - 3}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\)
\(\begin{array}{l}y'\left( {{x_A}} \right) = y'\left( {{x_B}} \right) \Leftrightarrow \dfrac{{ - 3}}{{{{\left( {{x_A} - 2} \right)}^2}}} = \dfrac{{ - 3}}{{{{\left( {{x_B} - 2} \right)}^2}}} \Leftrightarrow {x_A} - 2 = 2 - {x_B} \Leftrightarrow {x_A} + {x_B} = 4\\ \Leftrightarrow 3 - m = 4 \Leftrightarrow m = - 1 \in \left( { - 2;0} \right)\end{array}\)
Đáp án : B
Các bài tập cùng chuyên đề
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị \(\left( C \right)\) và điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) thuộc \(\left( C \right)\). Phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm \(M\) là
Phương trình tiếp tuyến của đường cong \(\left( C \right):\,\,y = {x^3} - 2x + 3\) tại điểm \(M\left( {1;2} \right)\) là:
Tiếp tuyến của đường cong \(\left( C \right):\,\,y = x\sqrt x \) tại điểm \(M\left( {1;1} \right)\) có phương trình là:
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{2x + 1}}{{x - 1}}\) tại điểm có hoành độ bằng $2$ có hệ số góc \(k = ?\)
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số hàm số \(y = 2{x^3} + 3{x^2}\) tại điểm có tung độ bằng $5$ có phương trình là?
Cho hàm số \(y = - {x^3} + 3x - 2\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Tiếp tuyến của đồ thị \(\left( C \right)\) tại giao điểm của \(\left( C \right)\) với trục hoành có phương trình:
Viết phương trình tiếp tuyến $d$ của đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2\) tại điểm có hoành độ \({x_0}\) thỏa mãn \(f''\left( {{x_0}} \right) = 0?\)
Tiếp tuyến tại điểm \(M\left( {1;3} \right)\) cắt đồ thị hàm số \(y = {x^3} - x + 3\) tại điểm thứ hai khác $M$ là $N$. Tọa độ điểm $N$ là:
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{x + 2}}{{x + 1}}\) tại giao điểm với trục tung cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là?
Cho hàm số \(y = \dfrac{{{x^2}}}{4} - x + 1\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Từ điểm \(M\left( {2; - 1} \right)\) có thể kẻ đến \(\left( C \right)\) hai tiếp tuyến phân biệt, hai tiếp tuyến này có phương trình là?
Cho hàm số \(y = {x^3} - 6{x^2} + 9x\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) song song với \(d:\,y = 9x\) có phương trình là:
Gọi \(\left( C \right)\) là đồ thị hàm số \(y = {x^4} + x\). Tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) vuông góc với \(d:\,\,x + 5y = 0\) có phương trình là:
Số tiếp tuyến đi qua điểm \(A\left( {1; - 6} \right)\) của đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3x + 1\) là:
Số tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = \dfrac{1}{3}{x^3} - 2{x^2} + 3x + 1\) song song với đường thẳng \(y = 8x + 2\) là:
Đường thẳng nào sau đây là tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2\) và có hệ số góc nhỏ nhất?
Cho hàm số \(y = \dfrac{{a{x^2} - bx}}{{x - 2}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Để \(\left( C \right)\) đi qua điểm \(A\left( { - 1;\dfrac{5}{2}} \right)\) và tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại gốc tọa độ có hệ số góc \(k = - 3\) thì mỗi liên hệ giữa $a$ và $b$ là :
Cho hàm số \(y = {x^4} - 2{m^2}{x^2} + 2m + 1\) và có đồ thị \({C_m}\). Tập tất cả các giá trị của tham số m để tiếp tuyến của đồ thị \(\left( {{C_m}} \right)\) tại giao điểm của \(\left( {{C_m}} \right)\) với đường thẳng \(d:\,\,x = 1\) song song với đường thẳng \(y = - 12x + 4\) là :
Cho hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2} + 1\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Gọi d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \(A\left( {1;5} \right)\) và $B$ là giao điểm thứ hai của $d$ với \(\left( C \right)\). Tính diện tích tam giác $OAB$?
Cho hàm số \(y = \dfrac{{x + 2}}{{x - 1}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Gọi $d$ là khoảng cách từ điểm \(A\left( {1;1} \right)\) đến một tiếp tuyến bất kỳ của đồ thị \(\left( C \right)\). Tìm giá trị lớn nhất của $d$?
Cho hàm số \(y = \dfrac{{x - 1}}{{2x - 3}}\) có đồ thị \((C)\). Viết phương trình tiếp tuyến của \((C)\) tại \(M\) thuộc (C) sao cho tiếp tuyến đó tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân.
