Hàm số \(y = {\left( {{x^2} + 1} \right)^3}\) có đạo hàm cấp ba là:
-
A.
\(y''' = 12x\left( {{x^2} + 1} \right)\)
-
B.
\(y''' = 24x\left( {{x^2} + 1} \right)\)
-
C.
\(y''' = 24x\left( {5{x^2} + 3} \right)\)
-
D.
\(y''' = - 12x\left( {{x^2} + 1} \right)\)
Cách 1: Sử dụng đạo hàm của hàm số hợp tính lần lượt đạo hàm cấp một, cấp hai, cấp ba.
Cách 2: Sử dụng hằng đẳng thức \({\left( {a + b} \right)^3} = {a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3}\) trước khi tính đạo hàm.
Cách 1:
\(\begin{array}{l}y' = 3{\left( {{x^2} + 1} \right)^2}\left( {{x^2} + 1} \right)' = 6x{\left( {{x^2} + 1} \right)^2}\\y'' = 6{\left( {{x^2} + 1} \right)^2} + 6x.2\left( {{x^2} + 1} \right).2x\\\,\,\,\,\,\, = 6{\left( {{x^2} + 1} \right)^2} + 24{x^2}\left( {{x^2} + 1} \right)\\y''' = 12\left( {{x^2} + 1} \right).2x + 24.2x.\left( {{x^2} + 1} \right) + 24{x^2}.2x\\\,\,\,\,\,\,\, = 24x\left( {{x^2} + 1} \right) + 48x\left( {{x^2} + 1} \right) + 48{x^3}\\\,\,\,\,\,\, = 24x\left( {{x^2} + 1 + 2\left( {{x^2} + 1} \right) + 2{x^2}} \right) = 24x\left( {5{x^2} + 3} \right)\end{array}\)
Cách 2:
\(\begin{array}{l}y = {\left( {{x^2} + 1} \right)^3} = {x^6} + 3{x^4} + 3{x^2} + 1\\y' = 6{x^5} + 12{x^3} + 6x\\y'' = 30{x^4} + 36{x^2} + 6\\y''' = 120{x^3} + 72x = 24x\left( {5{x^2} + 3} \right)\end{array}\)
Đáp án : C
Các bài tập cùng chuyên đề
Cho hàm số \(y = {x^2} + 2x\). Chọn mệnh đề đúng:
Hàm số \(y = \dfrac{x}{{x - 2}}\) có đạo hàm cấp hai là:
Hàm số \(y = \sqrt {2x + 5} \) có đạo hàm cấp hai bằng
Đạo hàm cấp hai của hàm số \(y = \tan x\) bằng:
Cho hàm số \(y = {\left( {{x^2} - 1} \right)^2}.\) Tính giá trị biểu thức \(M = {y^{\left( 4 \right)}} + 2xy''' - 4y''.\)
Giả sử \(h\left( x \right) = 5{\left( {x + 1} \right)^3} + 4\left( {x + 1} \right)\). Tập nghiệm của phương trình \(h''\left( x \right) = 0\) là:
Cho hàm số \(y = \sin x\). Chọn câu sai ?
Xét \(y = f\left( x \right) = \cos \left( {2x - \dfrac{\pi }{3}} \right)\). Phương trình \({f^{\left( 4 \right)}}\left( x \right) = - 8\) có nghiệm \(x \in \left[ {0;\dfrac{\pi }{2}} \right]\) là:
Cho hàm số \(y = \sin 2x\). Hãy chọn câu đúng?
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = - \dfrac{1}{x}\). Xét hai mệnh đề:
(I): \(y'' = f''\left( x \right) = \dfrac{2}{{{x^3}}}\)
(II): \(y''' = f'''\left( x \right) = - \dfrac{6}{{{x^4}}}\)
Mệnh đề nào đúng?
Với \(f\left( x \right) = {\sin ^3}x + {x^2}\) thì \(f''\left( { - \dfrac{\pi }{2}} \right)\) bằng:
Cho hàm số \(y = 3{x^5} - 5{x^4} + 3x - 2\). Giải bất phương trình \(y'' < 0\).
Nếu $f''\left( x \right) = \dfrac{{2\sin x}}{{{{\cos }^3}x}}$, thì $f(x)$ bằng:
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {\left( {ax + b} \right)^5}\) (với $a, b$ là tham số). Tính \({f^{\left( {10} \right)}}\left( 1 \right)\)
Cho hàm số \(y = \cos x\). Khi đó \({y^{\left( {2018} \right)}}\left( x \right)\) bằng:
Một chất điểm chuyển động thẳng xác định bởi phương trình \(s = {t^3} - 2{t^2} + 4t + 1\) trong đó $t$ là giây, $s$ là mét. Gia tốc chuyển động khi $t = 2$ là
Đạo hàm cấp 4 của hàm số \(y = \sin 5x.\sin 3x\) là :
Cho hàm số \(y = \sqrt {2x - {x^2}} \). Mệnh đề nào sau đây là đúng ?
Đạo hàm cấp $n$ của hàm số \(\dfrac{1}{{ax + b}},\,a \ne 0\) là
Đạo hàm cấp 4 của hàm số \(y = \dfrac{{2x + 1}}{{{x^2} - 5x + 6}}\) là :
