Tìm $a$ để hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}}\,\,khi\,\,x \ne 1\\a\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 1\end{array} \right.\) có đạo hàm tại $x = 1.$

+) Để hàm số có đạo hàm tại $x = 1$ thì hàm số phải liên tục tại $x = 1.$

+) Đạo hàm của hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm \(x = {x_0}\) là \(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\) (nếu tồn tại).

Các em cũng có thể xét trực tiếp giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}}\) và tìm điều kiện của \(a\) để giới hạn này tồn tại. Cụ thể:

Ta có:

$\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}} - a}}{{x - 1}}\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x + 1 - a}}{{x - 1}}
\end{array}$

Để hàm số có đạo hàm tại x=1 thì giới hạn trên tồn tại.

Dễ thấy x=1 là nghiệm của mẫu nên để giới hạn trên tồn tại thì x=1 cũng là nghiệm của tử

${ \Leftrightarrow 1 + 1 - a = 0 \Leftrightarrow a = 2}$

Thử lại, với a=2 thì:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x + 1 - 2}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x - 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} 1 = 1$

Do đó giới hạn cần tính tồn tại nên f'(1)=1.