Cho hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {x + 1} \). Tính đạo hàm của hàm số tại điểm \({x_0} = 1\)
-
A.
\(\dfrac{{\sqrt 2 }}{4}\)
-
B.
\(\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\)
-
C.
\(2\sqrt 2 \)
-
D.
\(\dfrac{{\sqrt 2 }}{3}\)
Đạo hàm của hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm \(x = {x_0}\) là \(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\) (nếu tồn tại).
TXĐ: $D=[-1;+\infty )$
\(f'\left( 1 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{\sqrt {x + 1} - \sqrt 2 }}{{x - 1}} \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{x + 1 - 2}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt {x + 1} + \sqrt 2 } \right)}} \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{1}{{\sqrt {x + 1} + \sqrt 2 }} = \dfrac{1}{{2\sqrt 2 }} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{4}\)
Đáp án : A
