Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A.\) Trên tia đối của tia \(BC\) lấy điểm \(M,\) trên tia đối của tia \(CB\) lấy điểm \(N\) sao cho \(MB = NC.\) Kẻ \(BE \bot AM\,\left( {E \in AM} \right);CF \bot AN\,\left( {F \in AN} \right)\).

\(\Delta ABC\) cân tại \(A\) nên \(AB = AC,\,\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\)     (1)

Mặt khác: \(\widehat {ABM} + \widehat {ABC} = {180^o}\) (kề bù)      (2)

                 \(\widehat {ACN} + \widehat {ACB} = {180^o}\) (kề bù)       (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra \(\widehat {ABM} = \widehat {ACN}\).

Xét \(\Delta ABM\) và \(\Delta ACN\) có:

\(AB = AC\,\,(cmt)\)

\(\widehat {ABM} = \widehat {ACN}\,\,(cmt)\)

\(BM = CN\,\,(gt)\)

\( \Rightarrow \Delta ABM = \Delta ACN\,\,(c.g.c)\)

\( \Rightarrow AM = AN\) (hai cạnh tương ứng).

\( \Rightarrow \Delta AMN\) cân tại \(A.\)

Sử dụng kết quả câu trước ta có \(\Delta ABM = \Delta ACN\,\,\) suy ra \(\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}}\) (hai góc tương ứng).

Xét hai tam giác vuông \(ABE\) và \(ACF\) có:

\(\widehat {AEB} = \widehat {AFC} = {90^o}\)

\(AB = AC\) (vì \(\Delta ABC\) cân tại \(A\))

\(\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}}\,\,(cmt)\)

\( \Rightarrow \Delta ABE = \Delta ACF\) (cạnh huyền – góc nhọn)

\( \Rightarrow BE = CF\) (hai cạnh tương ứng).

Sử dụng kết quả câu trước \(\Delta ABE = \Delta ACF\) nên \(BE = CF\) (hai cạnh tương ứng).

Xét hai tam giác vuông \(BME\) và \(CNF\) có:

\(\widehat {BEM} = \widehat {CFN} = {90^o}\)

\(BE = CF\,\,(cmt)\)

\(MB = NC\,\,(gt)\)

\( \Rightarrow \Delta BME = \Delta CNF\) (cạnh huyền – cạnh góc vuông).