Ba đội công nhân đều làm khối lượng công việc như nhau. Đội 1 làm xong công việc trong 4 ngày, đội thứ hai làm xong công việc trong 6 ngày. Biết rằng, tổng số công nhân của đội 1 và đội 2 gấp 5 lần số công nhân của đội 3. Hỏi đội 3 làm xong công việc trong bao lâu?

Gọi thời gian hoàn thành công việc của ba đội lần lượt là \({t_1},{t_2},{t_3}\,\left( {{t_1},{t_2},{t_3} > 0} \right)\) (ngày).

Gọi số công nhân của ba đội lần lượt là \({x_1},{x_2},{x_3}\,\left( {{x_1},{x_2},{x_3} \in {\mathbb{N}^*}} \right)\) (người).

Theo đề bài, tổng số công nhân của đội 1 và đội 2 gấp 5 lần số công nhân của đội 3 nên ta có \({x_1} + {x_2} = 5{x_3}\)

Vì số công nhân và thời gian hoàn thành công việc là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên ta có:

\({x_1}.{t_1} = {x_2}.{t_2} = {x_3}.{t_3}\) hay \(\dfrac{{{x_1}}}{{\dfrac{1}{{{t_1}}}}} = \dfrac{{{x_2}}}{{\dfrac{1}{{{t_2}}}}} = \dfrac{{{x_3}}}{{\dfrac{1}{{{t_3}}}}}\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\dfrac{{{x_1}}}{{\dfrac{1}{{{t_1}}}}} = \dfrac{{{x_2}}}{{\dfrac{1}{{{t_2}}}}} = \dfrac{{{x_3}}}{{\dfrac{1}{{{t_3}}}}} = \dfrac{{{x_1} + {x_2}}}{{\dfrac{1}{{{t_1}}} + \dfrac{1}{{{t_2}}}}} = \dfrac{{5{x_3}}}{{\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{6}}} = \dfrac{{5{x_3}}}{{\dfrac{5}{{12}}}} = 12{x_3}\)

\( \Rightarrow \dfrac{{{x_3}}}{{\dfrac{1}{{{t_3}}}}} = 12{x_3} \Rightarrow \dfrac{1}{{{t_3}}}.12{x_3} = {x_3} \Rightarrow {t_3} = \dfrac{{12{x_3}}}{{{x_3}}} = 12\).

Vậy đội 3 làm xong công việc trong \(12\) ngày.