Đề bài

So sánh \(\dfrac{{2011}}{{2012}} + \dfrac{{2012}}{{2013}} + \dfrac{{2013}}{{2011}}\) với 3.

  • A.

    \(\dfrac{{2011}}{{2012}} + \dfrac{{2012}}{{2013}} + \dfrac{{2013}}{{2011}} > 3\)

  • B.

    \(\dfrac{{2011}}{{2012}} + \dfrac{{2012}}{{2013}} + \dfrac{{2013}}{{2011}} < 3\)

  • C.

    \(\dfrac{{2011}}{{2012}} + \dfrac{{2012}}{{2013}} + \dfrac{{2013}}{{2011}} = 3\)

  • D.

    Chưa đủ điều kiện so sánh

Phương pháp giải

Tách các tử số để đưa được phân số về dạng hiệu của \(1\) và một phân số khác.

Từ đó ta so sánh kết quả tìm được với \(3.\)

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Ta có:

\(\dfrac{{2011}}{{2012}} + \dfrac{{2012}}{{2013}} + \dfrac{{2013}}{{2011}} = \dfrac{{2012 - 1}}{{2012}} + \dfrac{{2013 - 1}}{{2013}} + \dfrac{{2011 + 1 + 1}}{{2011}}\)

\( = 1 - \dfrac{1}{{2012}} + 1 - \dfrac{1}{{2013}} + 1 + \dfrac{1}{{2011}} + \dfrac{1}{{2011}}\)

\( = 3 + \left( {\dfrac{1}{{2011}} - \dfrac{1}{{2012}}} \right) + \left( {\dfrac{1}{{2011}} - \dfrac{1}{{2013}}} \right)\)

Ta thấy: vì \(2011 < 2012 < 2013\) nên \(\dfrac{1}{{2011}} > \dfrac{1}{{2012}} > \dfrac{1}{{2013}}\).

Suy ra: \(\dfrac{1}{{2011}} - \dfrac{1}{{2012}} > 0;\,\dfrac{1}{{2011}} - \dfrac{1}{{2013}} > 0\)

Do đó: \(3 + \left( {\dfrac{1}{{2011}} - \dfrac{1}{{2012}}} \right) + \left( {\dfrac{1}{{2011}} - \dfrac{1}{{2013}}} \right) > 3\).

Hay \(\dfrac{{2011}}{{2012}} + \dfrac{{2012}}{{2013}} + \dfrac{{2013}}{{2011}} > 3.\)

Đáp án : A