Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(Q = \dfrac{{18}}{{4x - 4{{\rm{x}}^2} +7}}\).
-
A.
\(\dfrac{{18}}{7}\)
-
B.
\(\dfrac{4}{9}\)
-
C.
\(\dfrac{9}{4}\)
-
D.
\(18\)
- Phân tích mẫu số để sử dụng được kiến thức \(m - {\left( {A + B} \right)^2} \le m\,\,\) với mọi \(A,B\). Dấu “=” xảy ra khi \(A = - B\). Từ đó tìm được GTLN của mẫu số.
- Lập luận để tìm GTNN của \(Q\).
Ta có: \(Q = \dfrac{{18}}{{4x - 4{{\rm{x}}^2} + 7}}\)\( = \dfrac{{18}}{{ - \left( {4{x^2} - 4x + 1} \right) + 8}} = \dfrac{{18}}{{8 - {{\left( {2x - 1} \right)}^2}}}\)
Ta có: \(Q\) đạt GTNN \( \Leftrightarrow 8 - {\left( {2x - 1} \right)^2}\) đạt GTLN.
Mà \({\left( {2x - 1} \right)^2} \ge 0 \Leftrightarrow 8 - {\left( {2x - 1} \right)^2} \le 8,\,\forall x\) . Dấu “=” xảy ra khi \(2x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{2}\)
nên GTLN của \(8 - {\left( {2x - 1} \right)^2}\) là \(8\) khi \(x = \dfrac{1}{2}\).
Hay GTNN của \(Q\) là \(\dfrac{{18}}{8} = \dfrac{9}{4} \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{2}\).
Đáp án : C
