Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) với công sai khác $0$. Biết rằng các số \({u_1}{u_2};{u_2}{u_3};{u_1}{u_3}\) theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân với công bội \(q \ne 0\). Khi đó $q$ bằng:

Vì cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\)có công sai khác $0$ nên các số \({u_1};{u_2};{u_3};{u_4}\) đôi một khác nhau.

Suy ra \({u_1}{u_2} \ne 0\) và \(q \ne 1\).

Ta có

${u_2}{u_3} = {u_1}{u_2}.q;{u_1}{u_3} = {u_1}{u_2}.{q^2}$ $ \Leftrightarrow {u_3} = {u_1}.q = {u_2}.{q^2} $ $\Rightarrow {u_3} = {u_2}.{q^2};{u_1} = {u_2}.q$

Vì \({u_1};{u_2};{u_3}\) là cấp số cộng nên \({u_1} + {u_3} = 2{u_2}\)

Thay ${u_3} = {u_2}.{q^2};{u_1} = {u_2}.q$ vào ta được:

\({u_1} + {u_3} = 2{u_2} \Rightarrow {u_2}.q + {u_2}.{q^2} = 2{u_2} \) \(\Rightarrow {q^2} + q - 2 = 0 \Rightarrow q =  - 2\)