Cho ba số dương $a,b,c$ thỏa mãn điều kiện \(\dfrac{1}{{\sqrt b + \sqrt c }},\dfrac{1}{{\sqrt c + \sqrt a }},\dfrac{1}{{\sqrt a + \sqrt b }}\) lập thành một cấp số cộng. Mệnh đề nào dưới đây là đúng ?
-
A.
Ba số $a,b,c$ lập thành một cấp số cộng.
-
B.
Ba số \(\dfrac{1}{a},\dfrac{1}{b},\dfrac{1}{c}\) lập thành cấp số cộng.
-
C.
Ba số \({a^2},{b^2},{c^2}\) lập thành cấp số cộng
-
D.
Ba số \(\sqrt a ,\sqrt b ,\sqrt c \) lập thành cấp số cộng.
Sử dụng tính chất của CSC: \({u_{n - 1}} + {u_{n + 1}} = 2{u_n}\)
Ta có
\(\begin{array}{l}\dfrac{1}{{\sqrt b + \sqrt c }} + \dfrac{1}{{\sqrt a + \sqrt b }} = \dfrac{2}{{\sqrt c + \sqrt a }}\\ \Leftrightarrow \left( {\sqrt c + \sqrt a } \right)\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right) + \left( {\sqrt c + \sqrt a } \right)\left( {\sqrt b + \sqrt c } \right) = 2\left( {\sqrt b + \sqrt c } \right)\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)\\ \Leftrightarrow \sqrt {ac} + \sqrt {bc} + a + \sqrt {ab} + \sqrt {bc} + c + \sqrt {ab} + \sqrt {ac} = 2\sqrt {ab} + 2b + 2\sqrt {ac} + 2\sqrt {bc} \\ \Leftrightarrow a + c = 2b\end{array}\)
Khi đó $a,b,c$ lập thành một cấp số cộng.
Đáp án : A
Danh sách bình luận