Cho \(\left( E \right)\) có hai tiêu điểm \({F_1}\left( { - \sqrt 7 ;0} \right)\), \({F_2}\left( {\sqrt 7 ;0} \right)\) và điểm \(M\left( { - \sqrt 7 ;\dfrac{9}{4}} \right)\) thuộc \(\left( E \right)\). Gọi \(N\) là điểm đối xứng với \(M\) qua gốc tọa độ \(O.\) Khi đó

Cho tam giác \(ABC\) có diện tích bằng \(S = \dfrac{3}{2}\), hai đỉnh \(A\left( {2;\; - 3} \right)\) và \(B\left( {3;\; - 2} \right)\). Trọng tâm \(G\) nằm trên đường thẳng \(3x - y - 8 = 0\). Tìm tọa độ đỉnh \(C\)?

Cho hai điểm \(P\left( {1;6} \right)\) và \(Q\left( { - 3; - 4} \right)\) và đường thẳng \(\Delta \): \(2x - y - 1 = 0\). Tọa độ điểm \(N\) thuộc \(\Delta \) sao cho \(\left| {NP - NQ} \right|\) lớn nhất.

Cho tam giác \(ABC\) nội tiếp đường tròn tâm \(I\left( {2;\;1} \right)\), trọng tâm \(G\left( {\dfrac{7}{3};\;\dfrac{4}{3}} \right)\), phương trình đường thẳng \(AB:x - y + 1 = 0\). Giả sử điểm \(C\left( {{x_0};\;{y_0}} \right)\), tính \(2{x_0} + {y_0}\).

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho điểm \(M\left( {4;{\rm{ 1}}} \right)\), đường thẳng \(d\) qua \(M\), \(d\)cắt tia \(Ox\), \(Oy\) lần lượt tại \(A\left( {a;{\rm{ 0}}} \right)\), \(B\left( {0;{\rm{ }}b} \right)\) sao cho tam giác \(ABO\) (\(O\) là gốc tọa độ) có diện tích nhỏ nhất. Giá trị \(a - 4b\) bằng

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, tam giác $ABC$ có đỉnh \(A\left( { - 1;2} \right)\), trực tâm \(H\left( { - 3; - 12} \right)\), trung điểm của cạnh $BC$ là \(M\left( {4;3} \right)\). Gọi $I$, $R$ lần lượt là tâm, bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau

Trong mặt phẳng với hệ trục $Oxy$, cho hình vuông \(ABCD\) có tâm là điểm \(I\). Gọi \(G\left( {1; - 2} \right)\) và \(K\left( {3;1} \right)\) lần lượt là trọng tâm các tam giác \(ACD\) và $ABI$. Biết $A\left( {a;b} \right)$ với \(b > 0\). Khi đó \({a^2} + {b^2}\) bằng

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho ba điểm \(A\left( {1;0} \right)\), \(B\left( {0;5} \right)\) và \(C\left( { - 3; - 5} \right)\). Tìm tọa độ điểm \(M\) thuộc trục \(Oy\) sao cho \(\left| {3\overrightarrow {MA}  - 2\overrightarrow {MB}  + 4\overrightarrow {MC} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất?

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\) cho đường thẳng \(\Delta :\,x - 2y - 5 = 0\) và các điểm \(A\left( {1;\,2} \right)\), \(B\left( { - 2;\,3} \right)\), \(C\left( { - 2;\,1} \right)\). Viết phương trình đường thẳng \(d\), biết đường thẳng \(d\) đi qua gốc tọa độ và cắt đường thẳng \(\Delta \) tại điểm \(M\) sao cho: \(\left| {\overrightarrow {MA\,}  + \overrightarrow {MB\,}  + \overrightarrow {MC\,} } \right|\) nhỏ nhất.

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\) cho hình chữ nhật \(ABCD\) biết \(AD = 2AB\), đường thẳng \(AC\) có phương trình \(x + 2y + 2 = 0\), \(D\left( {1;\,1} \right)\) và \(A\left( {a;\,b} \right)\,\,\,\,\,\,\left( {a,\,b \in \mathbb{R},\,a > 0} \right)\). Tính \(a + b\).

Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( { - 4; - 1} \right)\), hai đường cao \(BH\) và \(CK\) có phương trình lần lượt là \(2x - y + 3 = 0\) và \(3x + 2y - 6 = 0\). Viết phương trình đường thẳng \(BC\) và tính diện tích tam giác \(ABC\).

Cho\(A\left( {1;\, - 1} \right)\), \(B\left( {3;\,2} \right)\). Tìm \(M\) trên trục $Oy$ sao cho $M{A^2} + M{B^2}$ nhỏ nhất.

Cho tam giác $ABC$ có $A\left( {\dfrac{4}{5};\dfrac{7}{5}} \right)$ và hai trong ba đường phân giác trong có phương trình lần lượt là $x - 2y - 1 = 0$, $x + 3y - 1 = 0$. Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh $BC$.

Cho đường tròn \(\left( C \right):\,{x^2} + {y^2} - 2x + 2y - 7 = 0\) và đường thẳng \(d:\,x + y + 1 = 0\). Tìm tất cả các đường thẳng song song với đường thẳng \(d\) và cắt đường tròn \(\left( C \right)\) theo dây cung có độ dài bằng \(2\).

Đường thẳng nào dưới đây tiếp xúc với đường tròn \({\left( {x - 2} \right)^2} + {{y}^2} = 4\), tại $M$ có hoành độ ${x_M} = 3$?

Đường tròn đi qua \(A\left( {2;\,4} \right)\), tiếp xúc với các trục tọa độ có phương trình là

Cho đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} + 6x - 2y + 5 = 0\) và điểm \(A\left( { - 4;2} \right)\). Đường thẳng \(d\) qua \(A\) cắt \(\left( C \right)\) tại \(2\) điểm \(M\), \(N\) sao cho \(A\) là trung điểm của \(MN\) có phương trình là

Một miếng giấy hình tam giác $ABC$ vuông tại \(A\) có diện tích $S$, gọi $I$ là trung điểm $BC$ và $O$ là trung điểm của $AI$. Cắt miếng giấy theo một đường thẳng qua $O$, đường thẳng này đi qua $M$, $N$ lần lượt trên các cạnh $AB$, $AC$. Khi đó diện tích miếng giấy chứa điểm$A$ có diện tích thuộc đoạn:

Cho \(\left( E \right)\) có hai tiêu điểm \({F_1}\left( { - 4;0} \right)\), \({F_2}\left( {4;0} \right)\) và điểm \(M\) thuộc \(\left( E \right)\). Biết chu vi tam giác \(M{F_1}{F_2}\) bằng $18$. Khi đó tâm sai của \(\left( E \right)\) bằng