Đề bài

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$ cho hình chữ nhật $ABCD$ biết $AD = 2AB$, đường thẳng $AC$ có phương trình $x + 2y + 2 = 0$, $D\left( {1;\,1} \right)$ và $A\left( {a;\,b} \right)\,\,\,\,\,\,\left( {a,\,b \in \mathbb{R},\,a > 0} \right)$. Tính $a + b$.

A.

$a + b = - 4$.
B.

$a + b = - 3$.
C.

$a + b = 4$.
D.

$a + b = 1$.

Phương pháp giải

- Tìm tọa độ của $A$ phụ thuộc vào phương trình đường thẳng $AC$.

- Sử dụng tính chất góc giữa hai véc tơ $\overrightarrow {AD}, \overrightarrow {AC} $ tìm tọa độ của $A$.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Cách 1: Gọi $A\left( {a;b} \right)$. Vì $A \in AC:x + 2y + 2 = 0$ nên $a + 2b + 2 = 0 \Rightarrow a = - 2b - 2$

Do $a > 0$ nên $ - 2b - 2 > 0 \Rightarrow b < - 1$ $\,\left( * \right)$

Khi đó $A\left( { - 2b - 2;b} \right)$.

Ta có $\overrightarrow {AD} = \left( {2b + 3;1 - b} \right)$ là véctơ chỉ phương của đường thẳng $AD$.

$\vec u = \left( {2; - 1} \right)$ là véctơ chỉ phương của đường thẳng $AC$.

Trên hình vẽ, $\tan \alpha = \dfrac{{DC}}{{AD}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \cos \alpha = \dfrac{2}{{\sqrt 5 }}$ $\left( 1 \right)$

Lại có $\cos \alpha = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {AD} .\vec u} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {AD} } \right|.\left| {.\vec u} \right|}} = \dfrac{{5\left| {b + 1} \right|}}{{\sqrt 5 \sqrt {{b^2} + 2b + 2} }}$ $\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ suy ra $\dfrac{{5\left| {b + 1} \right|}}{{\sqrt 5 \sqrt {{b^2} + 2b + 2} }} = \dfrac{2}{{\sqrt 5 }} \Leftrightarrow {b^2} + 2b - 3 = 0 \Rightarrow b = - 3$ (do $\left( * \right)$) $ \Rightarrow a = 4$.

Khi đó $A\left( {4; - 3} \right)$, suy ra $a + b = 1$.

Cách 2: Gọi $A\left( {a;b} \right)$. Vì $A \in AC:x + 2y + 2 = 0$ nên $a + 2b + 2 = 0 \Rightarrow a = - 2b - 2$

Do $a > 0$ nên $ - 2b - 2 > 0 \Rightarrow b < - 1$$\,\left( * \right)$, khi đó $A\left( { - 2b - 2;b} \right)$.

Vì $C \in AC:x + 2y + 2 = 0$ nên $C\left( { - 2c - 2;c} \right)$

Ta có: $\overrightarrow {AD} = \left( {3 + 2b; - 1 - b} \right)$; $\overrightarrow {CD} = \left( {3 + 2c;1 - c} \right)$.

Chọn $\left\{ \begin{array}{l}\vec u \bot \overrightarrow {CD} \\\left| {\vec u} \right| = \left| {\overrightarrow {CD} } \right|\end{array} \right. \Rightarrow \vec u = \left( {c - 1;3 + 2c} \right)$

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}AD \bot CD\\AB = 2CD\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\overrightarrow {AD} = 2\vec u\\\overrightarrow {AD} = - 2\vec u\end{array} \right.$

* Với $\overrightarrow {AD} = 2\vec u$ $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 + 2b = 2c - 2\\1 - b = 6 + 4c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = - 3\\c = - \dfrac{1}{2}\end{array} \right.$ (t/m)

* Với $\overrightarrow {AD} = - 2\vec u$ $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 + 2b = - 2c + 2\\1 - b = - 6 - 4c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 1\\c = - \dfrac{3}{2}\end{array} \right.$ (không t/m)

Vậy $A\left( {4; - 3} \right)$, suy ra $a + b = 1$.

Đáp án : D

Báo lỗi/Góp ý

Các bài tập cùng chuyên đề

Bài 1 :

Cho tam giác $ABC$ có diện tích bằng $S = \dfrac{3}{2}$, hai đỉnh $A\left( {2;\; - 3} \right)$ và $B\left( {3;\; - 2} \right)$. Trọng tâm $G$ nằm trên đường thẳng $3x - y - 8 = 0$. Tìm tọa độ đỉnh $C$?