Có bao nhiêu số tự nhiên $k$ thỏa mãn hệ thức: \(C_{14}^k + C_{14}^{k + 2} = 2C_{14}^{k + 1}\)
-
A.
$2$
-
B.
\(3\)
-
C.
\(4\)
-
D.
\(5\)
Áp dụng các công thức chỉnh hợp, tổ hợp \(A_n^k = \dfrac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!}}\,;\,C_n^k = \dfrac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}}\,\,\)
ĐK: \(0 \le k \le 12\,\,\left( {k \in N} \right)\)
\(\begin{array}{l}C_{14}^k + C_{14}^{k + 2} = 2C_{14}^{k + 1}\\ \Leftrightarrow \frac{{14!}}{{k!\left( {14 - k} \right)!}} + \frac{{14!}}{{\left( {k + 2} \right)!\left( {12 - k} \right)!}} = 2\frac{{14!}}{{\left( {k + 1} \right)!\left( {13 - k} \right)!}}\\ \Leftrightarrow \frac{{14!}}{{k!\left( {12 - k} \right)!}}\left[ {\frac{1}{{\left( {14 - k} \right)\left( {13 - k} \right)}} + \frac{1}{{\left( {k + 2} \right)\left( {k + 1} \right)}} - \frac{2}{{\left( {k + 1} \right)\left( {13 - k} \right)}}} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \frac{1}{{\left( {14 - k} \right)\left( {13 - k} \right)}} + \frac{1}{{\left( {k + 2} \right)\left( {k + 1} \right)}} - \frac{2}{{\left( {k + 1} \right)\left( {13 - k} \right)}} = 0\\ \Leftrightarrow \left( {k + 2} \right)\left( {k + 1} \right) + \left( {14 - k} \right)\left( {13 - k} \right) - 2\left( {k + 2} \right)\left( {14 - k} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {k^2} + 3k + 2 + {k^2} - 27k + 182 + 2{k^2} - 24k - 56 = 0\\ \Leftrightarrow 4{k^2} - 48k + 128 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}k = 8\,\,\left( {tm} \right)\\k = 4\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy có $2$ giá trị của $k$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Đáp án : A
Các bài tập cùng chuyên đề
Với \(\dfrac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{\left( {n - 1} \right)!}} = 72\) thì giá trị của $n$ là:
Cho đa giác đều \(n\) đỉnh, \(n \in \mathbb{N}\) và \(n \ge 3\). Tìm \(n\) biết rằng đa giác đã cho có \(135\) đường chéo
Với $n$ thỏa mãn đẳng thức \(\dfrac{{A_n^4}}{{A_{n + 1}^3 - C_n^{n - 4}}} = \dfrac{{24}}{{23}}\) thì giá trị của biểu thức \(P = {\left( {n + 1} \right)^2} - 3n + 5\) là:
Với giá trị của $x$ thỏa mãn \(12C_x^1 + C_{x + 4}^2 = 162\) thì \(A_{x - 1}^2 - C_x^1 = ?\)
Tổng giá trị của $x$ thỏa mãn phương trình \(C_x^1 + C_x^2 + C_x^3 = \dfrac{7}{2}x\) là
Có bao nhiêu giá trị của $x$ thỏa mãn phương trình \(\dfrac{1}{{C_x^1}} - \dfrac{1}{{C_{x + 1}^2}} = \dfrac{7}{{6C_{x + 4}^1}}\):
Tích các giá trị $x$ nguyên thỏa mãn bất phương trình \(\dfrac{1}{2}A_{2x}^2 - A_x^2 \le \dfrac{6}{x}C_x^3 + 10\) là:
Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}C_x^y - C_x^{y + 1} = 0\\4C_x^y - 5C_x^{y - 1} = 0\end{array} \right.\) có bao nhiêu nghiệm?
Bất phương trình \(2C_{x + 1}^2 + 3A_x^2 < 30\) không tương đương với bất phương trình nào sau đây?
Với $n$ thỏa mãn \(A_n^3 + 5A_n^2 = 2\left( {n + 15} \right)\) thì:
Cho phương trình \(A_x^3 + 2C_{x + 1}^{x - 1} - 3C_{x - 1}^{x - 3} = 3{x^2} + {P_6} + 159\). Giả sử \(x = {x_0}\) là nghiệm của phương trình trên, lúc này ta có:
Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2A_x^y + 5C_x^y = 90\\5A_x^y - 2C_x^y = 80\end{array} \right.\) ta được nghiệm \(\left( {x;y} \right)\) thì $xy$ bằng :
Số nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}C_y^x:C_{y + 2}^x = \dfrac{1}{3}\\C_y^x:A_y^x = \dfrac{1}{{24}}\end{array} \right.\) là:
Giá trị của biểu thức \(A_{n + k}^{n + 1} + A_{n + k}^{n + 2}\) bằng biểu thức nào sau đây?
Có bao nhiêu giá trị của $n$ thỏa mãn bất đẳng thức: \(C_{n - 1}^4 - C_{n - 1}^3 - \dfrac{5}{4}A_{n - 2}^2 < 0\,\,\left( {n \in N} \right)\)?
Với $x,y$ thỏa mãn hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}A_x^2 + C_y^3 = 22\\A_y^3 + C_x^2 = 66\end{array} \right.\,\,\,\left( {x,y \in N} \right)\) thì \(x - y\) bằng?
Cho \(C_{x + 1}^y:C_x^{y + 1}:C_x^{y - 1} = 6:5:2\). Khi đó tổng $x + y$ bằng:
Với \(k,n \in N,2 \le k \le n\) thì giá trị của biểu thức $A = C_n^k + 4C_n^{k - 1} + 6C_n^{k - 2} + 4C_n^{k - 3} + C_n^{k - 4} - C_{n + 4}^k + 1$ bằng?
Biểu thức \(2C_n^k + 5C_n^{k + 1} + 4C_n^{k + 2}+C_n^{k+3}\) bằng biểu thức nào sau đây?
Số (5! – P4) bằng:
