Phương trình \(\tan \left( {\dfrac{\pi }{2} - x} \right) + 2\tan \left( {2x + \dfrac{\pi }{2}} \right) = 1\) có nghiệm là:
-
A.
\(x = \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)\)
-
B.
\(x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\)
-
C.
\(x = \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{k\pi }}{2}\left( {k \in Z} \right)\)
-
D.
\(x = - \dfrac{\pi }{4} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\)
Bước 1: Sử dụng giá trị lượng giác của các góc hơn kém nhau một góc \(\dfrac{\pi }{2}\)
$\tan \left( {\dfrac{\pi }{2} - x} \right) =\cot x$; $\tan \left( {2x + \dfrac{\pi }{2}} \right) =-\cot 2x$
Bước 2: Biến đổi phương trình và giải
+) Công thức nhân đôi \(\cot 2x = \dfrac{{1 - {{\tan }^2}x}}{{2\tan x}}\).
+) Sử dụng công thức $\tan x = \tan y \Leftrightarrow x = y+ k\pi \left( {k \in Z} \right)$
Bước 1:
Ta có: \(\tan \left( {\dfrac{\pi }{2} - x} \right) + 2\tan \left( {2x + \dfrac{\pi }{2}} \right) = 1 \)\(\Leftrightarrow \cot x - 2\cot 2x = 1\)
ĐK: \(\left\{ \begin{array}{l}\sin x \ne 0\\\sin 2x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \sin 2x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \dfrac{{k\pi }}{2}\)
Bước 2:
Khi đó phương trình tương đương:
\(\begin{array}{l}\cot x - 2\cot 2x = 1 \\ \Leftrightarrow \cot x - 2.\dfrac{{1 - {{\tan }^2}x}}{{2\tan x}} = 1 \\ \Leftrightarrow \cot x - \dfrac{{\tan x.\cot x - {{\tan }^2}x}}{{\tan x}} = 1\\ \Leftrightarrow \cot x - \left( {\cot x - \tan x} \right) = 1 \Leftrightarrow \tan x = 1 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\left( {TMDK} \right)\end{array}\)
Đáp án : B
Cần vận dụng linh hoạt các công thức biến đổi lượng giác để áp dụng vào bài toán.
Một số em khi biến đổi \(\cot x - \left( {\cot x - \tan x} \right) = 1 \Leftrightarrow - \tan x = 1 \Leftrightarrow \tan x = - 1\) và chọn nhầm đáp án D là sai.
