Cho đa thức \(f\left( x \right) = {a_4}{x^4} + {a_3}{x^3} + {a_2}{x^2} + {a_1}x + {a_0}\) . Biết rằng \(f\left( 1 \right) = f\left( { - 1} \right)\); \(f\left( 2 \right) = f\left( { - 2} \right)\). Chọn câu đúng.
-
A.
\(f\left( x \right) = f\left( { - x} \right)\) với mọi $x.$
-
B.
\(f\left( x \right) = - f\left( { - x} \right)\) với mọi $x.$
-
C.
\(f\left( x \right) = 2f\left( { - x} \right)\) với mọi $x.$
-
D.
\(f\left( x \right) = 3f\left( { - x} \right)\) với mọi $x.$
Thay các giá trị của $x$ vào đa thức để tìm giá trị của $f\left( x \right).$
Theo đề bài ta có:
\(\begin{array}{l}f(1) = {a_4}{.1^4} + {a_3}{.1^3} + {a_2}{.1^2} + {a_1}.1 + {a_0} \\= {a_4} + {a_3} + {a_2} + {a_1} + {a_0}\\f( - 1) = {a_4}.{( - 1)^4} + {a_3}.{( - 1)^3} + {a_2}.{( - 1)^2} + {a_1}.1 + {a_0} \\= {a_4} - {a_3} + {a_2} - {a_1} + {a_0}\end{array}\)
Vì \(f(1) = f( - 1)\) nên ta có:
\(\begin{array}{l}{a_4} + {a_3} + {a_2} + {a_1} + {a_0} = {a_4} - {a_3} + {a_2} - {a_1} + {a_0}\\ \Rightarrow {a_3} + {a_1} = - {a_3} - {a_1}\\\Leftrightarrow 2{a_3} + 2{a_1} = 0\\ \Leftrightarrow \,{a_3} + {a_1} = 0\\ \Leftrightarrow {a_3} = - {a_1}\,\, (1)\end{array}\)
\(\begin{array}{l}f(1) = {a_4}{.2^4} + {a_3}{.2^3} + {a_2}{.2^2} + {a_1}.2 + {a_0} \\= 16{a_4} + 8{a_3} + 4{a_2} + 2{a_1} + {a_0}\\f( - 2) = {a_4}.{( - 2)^4} + {a_3}.{( - 2)^3} + {a_2}.{( - 2)^2} + {a_1}.2 + {a_0} \\= 16{a_4} - 8{a_3} + 4{a_2} - 2{a_1} + {a_0}\end{array}\)
Vì \(f(2) = f( - 2)\) nên ta có:
\(\begin{array}{l}16{a_4} + 8{a_3} + 4{a_2} + 2{a_1} + {a_0} = 16{a_4} - 8{a_3} + 4{a_2} - 2{a_1} + {a_0}\\ \Rightarrow 8{a_3} + 2{a_1} = - 8{a_3} - 2{a_1}\\ \Leftrightarrow 16{a_3} + 4{a_1} = 0\\ \Leftrightarrow 4{a_3} + {a_1} = 0\,\,\,(2)\end{array}\)
Thế (1) vào (2) ta được: \(4{a_3} - {a_3} = 0 \Leftrightarrow {a_3} = 0 \Rightarrow {a_3} = {a_1} = 0.\)
Vậy đa thức \(f(x) = {a_4}{x^4} + {a_2}{x^2} + {a_0}\).
Vì \({x^4} = {( - x)^4}\,;\,\,{x^2} = {( - x)^2}\) với mọi $x,$ do đó \({a_4}{x^4} + {a_2}{x^2} + {a_0} = {a_4}{( - x)^4} + {a_2}{( - x)^2} + {a_0}\).
Suy ra \(f(x) = f( - x)\) với mọi $x.$
Đáp án : A
Các bài tập cùng chuyên đề
Có bao nhiêu đơn thức trong các biểu thức sau \( - x\dfrac{2}{5}{y^2}{x^2};\,2 + x{y^3};{\left( { - x} \right)^3}6y;xy^2z;\dfrac{{xyz}}{{x - 1}}\) ?
Đơn thức đồng dạng với đơn thức \(2{x^3}{y^4}\) là:
Bậc của đa thức \({x^3}{y^2} - x{y^5} + 7xy - 9\) là:
Tích của hai đơn thức \(6{x^2}{y^3}\) và \(\dfrac{{ - 2}}{3}x{\left( { - 3y{z^2}} \right)^2}\) là:
Chọn câu sai.
Thu gọn đơn thức \(A = \left( { - \dfrac{1}{3}xy} \right)\left( { - 3{y^2}} \right)\left( { - x} \right)\) ta được kết quả là
Bậc của đơn thức \(\left( { - \dfrac{1}{3}x{z^2}} \right)by\left( { - \dfrac{2}{5}xyz} \right)\) (với \(b\) là hằng số) là
Tính giá trị của biểu thức \(C = \dfrac{{2{x^2} - 3xy + {y^2}}}{{2x + y}}\) tại \(x = \dfrac{1}{2};y = 1.\)
Tổng của hai đa thức \(A = 4{x^2}y - 4x{y^2} + xy - 7\) và \(B = - 8x{y^2} - xy + 10 - 9{x^2}y + 3x{y^2}\) là:
Cho \(P\left( x \right) = 5{x^2} + 5x - 4;Q\left( x \right) = 2{x^2} - 3x + 1;R\left( x \right) = 4{x^2} - x - 3\). Tính \(2P\left( x \right) + Q\left( x \right) - R\left( x \right)\)
Cho hai đa thức \(f\left( x \right) = - {x^5} + 2{x^4} - {x^2} - 1;g\left( x \right) = - 6 + 2x - 3{x^3} - {x^4} + 3{x^5}\) . Giá trị của \(h\left( x \right) = f\left( x \right) - g\left( x \right)\) tại \(x = - 1\) là:
Tập nghiệm của đa thức \({x^2} - 5x\) là:
Đa thức \(P\left( x \right) = \left( {x - 1} \right)\left( {3x + 2} \right)\) có bao nhiêu nghiệm?
Tổng các nghiệm của đa thức \(Q\left( x \right) = 4{x^2} - 16\) là
Cho đa thức \(f\left( x \right) = - 6{x^2} + 3x - 4.\) Tìm đa thức \(g\left( x \right)\) sao cho \(g\left( x \right) - f\left( x \right) = 2{x^2} + 7x - 2\)
Cho đa thức \(P\left( x \right) = 2{x^2} + mx - 10\) . Tìm \(m\) để \(P\left( x \right)\) có một nghiệm là \(2.\)
Cho các đa thức:\(f\left( x \right) = {x^3} + 4{x^2} - 5x - 3;\;\;\;g\left( x \right) = 2{x^3} + {x^2} + x + 2;\;h\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} - 2x + 1.\)
Tính \(g(x) + h(x) - f(x).\)
Xét đa thức \(P\left( x \right) = ax + b,\) giả sử rằng có hai giá trị khác nhau \({x_1};{x_2}\) là nghiệm của \(P\left( x \right)\) thì
Lớp 6A có số học sinh giỏi kì 1 bằng \(\dfrac{2}{7}\) số học sinh còn lại. Học kì 2 có thêm 5 học sinh đạt loại giỏi nên số học sinh giỏi bằng \(\dfrac{1}{2}\) số học sinh còn lại. Tính số học sinh của lớp 6A.
