Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi quay mô hình (như hình vẽ) quanh trục \(DF\)
-
A.
$\dfrac{{10\pi {a^3}}}{9}$.
-
B.
$\dfrac{{10\pi {a^3}}}{7}$.
-
C.
$\dfrac{{5\pi {a^3}}}{2}$.
-
D.
$\dfrac{{\pi {a^3}}}{3}$.
- Xác định các khối tròn xoay có được khi quay hình vẽ quanh trục \(DF\)
- Tính thể tích của chúng với chú ý:
\({V_{non}} = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}h;{V_{tru}} = \pi {R^2}h\)
Ta có $EF = AF.\tan \beta = a.\tan 30^\circ = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}$
Khi quay quanh trục \(DF\), tam giác \(AEF\) tạo ra một hình nón có thể tích
\({V_1} = \dfrac{1}{3}\pi .E{F^2}.AF = \dfrac{1}{3}\pi .{\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)^2}.a = \dfrac{{\pi {a^3}}}{9}\)
Khi quay quanh trục \(DF\), hình vuông \(ABCD\) tạo ra một hình trụ có thể tích
\({V_2} = \pi .D{C^2}.BC = \pi .{a^2}.a = \pi {a^3}\)
Thể tích của vật thể tròn xoay khi quay mô hình (như hình vẽ) quanh trục \(DF\)là
\(V = {V_1} + {V_2} = \dfrac{{\pi {a^3}}}{9} + \pi {a^3} = \dfrac{{10}}{9}\pi {a^3}\)
Đáp án : A
Các bài tập cùng chuyên đề
Cho mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm \(O\), bán kính \(R\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\), gọi \(H\) là hình chiếu của \(O\) trên \(\left( P \right)\). Nếu \(R > OH\) thì:
Cho khối nón tròn xoay có đường cao $h = 15cm$ và đường sinh $l = 25cm$. Thể tích \({\rm{V}}\) của khối nón là:
Cho mặt cầu \(\left( S \right)\). Nếu \(\left( P \right)\) là mặt phẳng kính của mặt cầu \(\left( S \right)\) thì:
Cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(O\) bán kính \(R\) và đường thẳng \(d\). Nếu \(d\) và \(\left( S \right)\) không có điểm chung thì:
Cho một hình nón có bán kính đáy bằng \(a\) và góc ở đỉnh bằng \(60^\circ \). Tính diện tích xung quanh của hình nón đó.
Cho khối \(\left( N \right)\) có bán kính đáy bằng \(3\) và diện tích xung quanh bằng \(15\pi \). Tính thể tích \(V\) của khối nón \(\left( N \right)\)
Trục đa giác đáy là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng đáy tại:
Cho hình nón tròn xoay có đường cao \(h = 40cm\), bán kính đáy \(r = 50cm\). Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện là \(24cm\). Tính diện tích của thiết diện.
Trong không gian, tập hợp các điểm cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng là:
Cho một khối trụ có độ dài đường sinh là $l$ và bán kính đường tròn đáy là $r$. Diện tích toàn phần của hình trụ là
Cho hình trụ có bán kính đáy $5{\rm{ }}cm$ chiều cao $4{\rm{ }}cm$. Diện tích toàn phần của hình trụ này là
Cho một khối trụ có chiều cao bằng \(8cm\), bán kính đường tròn đáy bằng \(6cm\). Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trục \(4cm\). Diện tích của thiết diện được tạo thành là :
Cho hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác với độ dài cạnh đáy lần lượt $5cm,13cm,12cm$. Một hình trụ có chiều cao bằng $8cm$ ngoại tiếp lăng trụ đã cho có thể tích bằng
Cho hình lăng trụ tam giác đều \(ABC.A'B'C'\) có độ dài cạnh đáy bằng \(a\) và chiều cao bằng \(h\). Tính thể tích \(V\) của khối trụ ngoại tiếp lăng trụ đã cho.
Cho mặt cầu có diện tích là $72\pi \left( {c{m^2}} \right)$. Bán kính \(R\) của khối cầu là:
Một hình hộp chữ nhật có độ dài \(3\) cạnh lần lượt là \(2\), \(2\), \(1\). Tính bán kính \(R\) mặt cầu ngoại tiếp hình hộp nói trên.
Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(AB = a\), \(AD = 2a\) và \(AA' = 2a\). Tính bán kính \(R\) của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(ABB'C'\).
Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\); \(SA = a\) đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(B\), \(\widehat {BAC} = 60^\circ \) và \(AB = \dfrac{a}{2}\). Gọi \(\left( S \right)\) là mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABC\). Tìm mệnh đề sai.
Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác vuông tại \(A\), \(AB = 2a\sqrt 3 \). Đường chéo \(BC'\) tạo với mặt phẳng \(\left( {AA'C'C} \right)\) một góc bằng \(60^\circ \). Gọi \(\left( S \right)\) là mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đã cho. Bán kính của mặt cầu \(\left( S \right)\) bằng
Một hình nón có thiết diện qua trục là tam giác đều cạnh \(a\). Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình nón theo \(a\).
