Tìm \(m\) để hàm số: \(f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2}\left( {{x^2} - 2} \right) + \left( {2{m^2} - 2} \right)x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} - m}}\) là hàm số chẵn.
-
A.
\(m = 0\)
-
B.
\(m = \pm 3\)
-
C.
\(m = \pm 1\)
-
D.
$m = \pm 2$
- Sử dụng điều kiện cần: Nếu hàm số \(y = f\left( x \right)\) là hàm số chẵn thì \(f\left( x \right) = f\left( { - x} \right)\)để tìm \(m\)
- Thay \(m\) vừa tìm được vào hàm số xét tính chẵn lẻ của hàm số tìm được và kết luận.
ĐKXĐ: \(\sqrt {{x^2} + 1} \ne m\) (*)
Giả sử hàm số chẵn suy ra \(f\left( { - x} \right) = f\left( x \right)\) với mọi $x$ thỏa mãn điều kiện (*)
Ta có \(f\left( { - x} \right) = \dfrac{{{x^2}\left( {{x^2} - 2} \right) - \left( {2{m^2} - 2} \right)x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} - m}}\)
Suy ra \(f\left( { - x} \right) = f\left( x \right)\) với mọi $x$ thỏa mãn điều kiện (*)
\( \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2}\left( {{x^2} - 2} \right) - \left( {2{m^2} - 2} \right)x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} - m}} = \dfrac{{{x^2}\left( {{x^2} - 2} \right) + \left( {2{m^2} - 2} \right)x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} - m}}\) với mọi $x$ thỏa mãn điều kiện (*)
\( \Leftrightarrow 2\left( {2{m^2} - 2} \right)x = 0\) với mọi $x$ thỏa mãn điều kiện (*)
\( \Leftrightarrow 2{m^2} - 2 = 0\)\( \Leftrightarrow m = \pm 1\)
* Với \(m = 1\) ta có hàm số là \(f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2}\left( {{x^2} - 2} \right)}}{{\sqrt {{x^2} + 1} - 1}}\)
ĐKXĐ : \(\sqrt {{x^2} + 1} \ne 1 \Leftrightarrow x \ne 0\)
Suy ra TXĐ: ${\rm{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$
Dễ thấy với mọi \(x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\) ta có \( - x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\) và \(f\left( { - x} \right) = f\left( x \right)\)
Do đó \(f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2}\left( {{x^2} - 2} \right)}}{{\sqrt {{x^2} + 1} - 1}}\) là hàm số chẵn
* Với \(m = - 1\) ta có hàm số là \(f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2}\left( {{x^2} - 2} \right)}}{{\sqrt {{x^2} + 1} + 1}}\)
TXĐ: ${\rm{D}} = \mathbb{R}$
Dễ thấy với mọi \(x \in \mathbb{R}\) ta có \( - x \in \mathbb{R}\) và \(f\left( { - x} \right) = f\left( x \right)\)
Do đó \(f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2}\left( {{x^2} - 2} \right)}}{{\sqrt {{x^2} + 1} + 1}}\) là hàm số chẵn.
Vậy \(m = \pm 1\) là giá trị cần tìm.
Đáp án : C
Các bài tập cùng chuyên đề
Tìm tập xác định của hàm số$y = \dfrac{{x - 2}}{{{x^3} + {x^2} - 5x - 2}}$
Tìm tập xác định của hàm số $y = \dfrac{{\sqrt {x + 2} }}{{x\sqrt {{x^2} - 4x + 4} }}$
Tìm tập xác định của hàm số$y = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{x}\quad khi\;x \ge 1\\\sqrt {x + 1} \quad khi\;x < 1\end{array} \right.$
Cho hàm số: \(y = \dfrac{{mx}}{{\sqrt {x - m + 2} - 1}}\) với \(m\) là tham số. Tìm \(m\) để hàm số xác định trên \(\left( {0;1} \right)\)
Xét tính chẵn, lẻ của hàm số \(f(x) = 3{x^3} + 2\sqrt[3]{x}\).
Xét tính chẵn lẻ của hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1\,\,\,Khi\,\,x < 0}\\{0\,\,\,\,Khi\,\,x = 0}\\{1\,\,\,\,Khi\,\,x > 0}\end{array}} \right.\)
Tìm \(m\) để đồ thị hàm số sau nhận gốc tọa độ $O$ làm tâm đối xứng \(y = {x^3} - ({m^2} - 9){x^2} + (m + 3)x + m - 3\).
Tìm \(m\) để đồ thị hàm số sau nhận trục tung làm trục đối xứng
\(y = {x^4} - ({m^2} - 3m + 2){x^3} + {m^2} - 1\).
Xét sự biến thiên của hàm số\(y = \dfrac{3}{{x - 1}}\) trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\)
Xét sự biến thiên của hàm số \(y = \sqrt {4x + 5} + \sqrt {x - 1} \) trên tập xác định của nó. Áp dụng tìm số nghiệm của phương trình \(\sqrt {4x + 5} + \sqrt {x - 1} = 3\)
Cho hàm số \(y = m{x^3} - 2({m^2} + 1){x^2} + 2{m^2} - m\). Tìm \(m\) để điểm \(M\left( { - 1;2} \right)\) thuộc đồ thị hàm số đã cho
Cho hàm số \(y = m{x^3} - 2({m^2} + 1){x^2} + 2{m^2} - m\). Tìm các điểm cố định mà đồ thị hàm số đã cho luôn đi qua với mọi \(m\).
Tịnh tiến đồ thị hàm số \(y = {x^2} + 1\) liên tiếp sang phải $2$ đơn vị và lên trên $1$ đơn vị ta được đồ thị của hàm số nào?
Nêu cách tịnh tiến đồ thị hàm số \(y = - 2{x^2}\) để được đồ thị hàm số \(y = - 2{x^2} - 6x + 3\).
Cho hàm số bậc nhất có đồ thị là đường thẳng \(d\). Tìm hàm số đó biết $d$ đi qua \(A(1;3),{\rm{ }}B(2; - 1)\)
Cho hàm số bậc nhất có đồ thị là đường thẳng \(d\). Tìm hàm số đó biết \(d\) đi qua \(C(3; - 2)\) và song song với \(\Delta :3x - 2y + 1 = 0\)
Cho hàm số bậc nhất có đồ thị là đường thẳng \(d\). Tìm hàm số đó biết \(d\) đi qua \(M(1;2)\) và cắt hai tia \(Ox,Oy\) tại \(P,Q\) sao cho \({S_{\Delta OPQ}}\) nhỏ nhất.
Cho hàm số bậc nhất có đồ thị là đường thẳng \(d\). Tìm hàm số đó biết \(d\) đi qua \(N\left( {2; - 1} \right)\) và \(d \bot d'\) với \(d':y = 4x + 3\).
Cho hai đường thẳng \(\,d:y = x + 2m,\,\,d':y = 3x + 2\)(\(m\) là tham số). Tìm \(m\) để ba đường thẳng \(d,\,d'\) và \(d'':y = - mx + 2\) phân biệt đồng quy.
Cho đường thẳng \(d:\,\,y = \left( {m - 1} \right)x + m\) và \(d':y = \left( {{m^2} - 1} \right)x + 6\). Tìm \(m\) để hai đường thẳng $d,\,\,d'$ song song với nhau
