Với \(m\) là tham số thực dương khác $1$. Hãy tìm tập nghiệm \(S\) của bất phương trình
\({\log _m}(2{x^2} + x + 3) \le {\log _m}(3{x^2} - x)\). Biết rằng \(x = 1\) là một nghiệm của bất phương trình.
-
A.
\(S = ( - 2;0) \cup (\dfrac{1}{3};\,\,3\,{\rm{]}}\).
-
B.
\(S = ( - 1;0) \cup (\dfrac{1}{3};\,\,2\,{\rm{]}}\,{\rm{.}}\)
-
C.
\(S = \left[ { - 1\,,\,0} \right) \cup (\dfrac{1}{3};\,\,3\,{\rm{]}}\).
-
D.
\(S = ( - 1;0) \cup (1;\,\,3\,{\rm{]}}\).
Bước 1: Thay \(x=1\) vào bất phương trình tìm điều kiện của m.
Bước 2: Sử dụng phương pháp giải bất phương trình logarit cơ bản:
Với \(f(x) > 0,g(x) > 0\) ta có:
\({\log _a}f(x) > {\log _a}g(x) \)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f(x) > g(x)\\f(x) < g(x)\end{array} \right.\)$\begin{array}{l}khi\\khi\end{array}$$\begin{array}{l}a > 1\\0 < a < 1\end{array}$.
Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}2{x^2} + x + 3 > 0\\3{x^2} - x > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > \dfrac{1}{3}\\x < 0\end{array} \right.\)
Do \(x=1\) là một nghiệm của bất phương trình nên \({\log _m}(2.{1^2} + 1 + 3) \le {\log _m}(3.{1^2} - 1) \Leftrightarrow {\log _m}6 \le {\log _m}2 \Leftrightarrow 0<m < 1\)
Khi đó, ta có:
\({\log _m}(2{x^2} + x + 3) \le {\log _m}(3{x^2} - x)\)
\(\Leftrightarrow 2{x^2} + x + 3 \ge 3{x^2} - x\)\( \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 \le 0 \Leftrightarrow - 1 \le x \le 3\)
Kết hợp với điều kiện xác định ta có nghiệm của bpt là : \(S = \left[ { - 1;0} \right) \cup \left( {\dfrac{1}{3};3} \right)\)
Đáp án : C
Các em có thể xét cả hai trường hợp $0<m<1$ và $m>1$ rồi giải bất phương trình.
Kết hợp với điều kiện $x=1$ là một nghiệm để suy ra kết luận.
