Nghiệm của bất phương trình ${\log _2}(x + 1) + {\log _{\frac{1}{2}}}\sqrt {x + 1}  \le 0$ là :

Điều kiện $x > -1$.

Khi đó ta có:

$\begin{array}{l}{\log _2}(x + 1) - lo{g_2}\sqrt {x + 1}  \le 0 \Leftrightarrow {\log _2}\dfrac{{x + 1}}{{\sqrt {x + 1} }} \le 0 \Leftrightarrow \dfrac{{x + 1}}{{\sqrt {x + 1} }} \le 1\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{{(\sqrt {x + 1} )}^2}}}{{\sqrt {x + 1} }} \le 1 \Leftrightarrow \sqrt {x + 1}  \le 1 \Leftrightarrow x \le 0\end{array}$

Kết hợp với điều kiện ta được: $ - 1 < x \le 0$