Tính diện tích toàn phần của hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng 2a.

Xét hình chóp \(S.ABC\) có \(AB = AC = BC = a\) và \(SH = 2a\).

Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\) thì \(AM\) vừa là đường trung tuyến, vừa là đường cao, vừa là đường phân giác của tam giác đều \(ABC\) nên \(AM \bot BC\) và \(HM = \frac{1}{3}AM\).

Xét \(\Delta ABM\) vuông tại M ta có:

\(A{B^2} = A{M^2} + B{M^2}\) (Định lý Py-ta-go)
\({a^2} = A{M^2} + {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2}\)

\(\begin{array}{l}A{M^2} = {\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)^2}\\ \Rightarrow AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\end{array}\)

Do đó \(HM = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}\)

+) Xét \(\Delta SHM\) vuông tại \(H\), ta có:

\(S{M^2} = H{M^2} + S{H^2}\) (Định lý Py-ta-go)
\(S{M^2} = {\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{6}} \right)^2} + {(2a)^2}\)

\(S{M^2} = {\left( {\frac{{7a\sqrt 3 }}{6}} \right)^2}\)

\( \Rightarrow SM = \frac{{7a\sqrt 3 }}{6}\)

Áp dụng công thức: \({S_{tp}} = {S_{xq}} + {S_d}\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}{S_{xq}} = \frac{{3a}}{2}.\frac{{7a\sqrt 3 }}{6} = \frac{{7{a^2}\sqrt 6 }}{4}\\{S_d} = \frac{1}{2}a.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\end{array}\)

Do đó: \({S_{xq}} = \frac{{7{a^2}\sqrt 6 }}{4} + \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = 2{a^2}\sqrt 3 .\)