Một ngôi nhà hình lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B. AB = AD = 4 (m); BC = 3,5 (m); BB' = 6 (m) (xem hình vẽ). Ở bức tường ADD'A' người ta lắp một bóng điện cách cạnh A'D' một khoảng bằng 3 (m) và cách mặt sàn một khoảng bằng 3 (m), còn ở bức tường BCC'B' người ta lắp một bóng điện cách cạnh B'C' một khoảng bằng 3 (m) và cách mặt sàn một khoảng bằng 2,5 (m). Một bảng điều khiển được đặt tại bức tường A'B'C'D' cách cạnh A'D' một khoảng bằng 1 (m) và cao 1,5 (m) so với mặt sàn. Người ta muốn nối dây điện từ bảng điểu khiển men theo các bức tường (không mắc lên mái) đến 2 bóng điện trên. Hỏi cần tối thiểu bao nhiêu mét dây điện? (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Khi đó gọi M là bóng đèn ở bức tường ADD'A';

N là bóng đèn ở bức tường BCC'B';

E là công tắc ở bức tường A'B'C'D'.

Gọi F là điểm thuộc A’D’ nối E và M, gọi G là điểm thuộc B’C’ nối E và N.

Khi đó đường dây điện là NG + GE + EF + FM.

Do M, E, N cố định nên tổng đường dây nối ngắn nhất khì $\left( {MF + EF} \right)_{\min}$ và $\left( {EG + GN} \right)_{\min}$.

Trải phẳng hai mặt (ADD'A') và (A'B'C'D') thành góc $180^o$ ta được:

EE’ là khoảng cách từ E đến A’D’ nên EE’ = 1.

MM’ là khoảng cách từ M đến A’D’ nên MM’ = 3.

Vì E cách mặt sàn 1,5 m và M cắt mặt sàn 3m nên khoảng chênh lệch độ cao là M’E’ = 1,5 m.

Khi đó $ \dfrac{EE'}{MM'} = \dfrac{EI}{IM} = \dfrac{E'I}{M'I} = \dfrac{1}{3}$

$\Rightarrow E'I = \dfrac{1}{3}M'I\Rightarrow E'I = \dfrac{1}{4}M'E' = \dfrac{1}{4}.1,5 = 0,375 $.

$ \Rightarrow MF + EF \geq EM = 4EI = 4\sqrt{1^{2} + 0,375^{2}} = \dfrac{\sqrt{73}}{2} $ mét.

Tương tự trải phẳng (BCC'B') và (A'B'C'D') thành góc $180^o$ ta được:

EE’’ = 3; GG = 3; G’E’’ = 2,5 – 1,5 = 1.

$\Rightarrow\dfrac{EE^{''}}{GG'} = \dfrac{E^{''}J}{JG} = \dfrac{EJ}{GJ} = 1\Rightarrow G'J = 0,5 $.

$ \Rightarrow NG + GE \geq GE = 2GJ = 2\sqrt{3^{2} + 0,5^{2}} = \sqrt{37} $.

Vậy tổng đường dây nối nhỏ nhất bằng $\dfrac{\sqrt{73}}{2} + \sqrt{37} \approx 10,4$.