Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng $3\sqrt{2}$, $\widehat{ABC} = 60^{\text{o}}$, $AB\bot SC$, $\Delta SAC$ đều. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SD bằng bao nhiêu?
Áp dụng phương pháp tọa độ hóa trong không gian.
Gọi I là tâm hình thoi ABCD, H là hình chiếu của S lên (ABCD).
$\Delta SAC$ đều và I là trung điểm của AC, do đó $SI\bot AC$.
$\left. \left. \begin{array}{l} \left. SH\bot(ABCD)\Rightarrow SH\bot AC \right. \\ {SI\bot AC} \end{array} \right\}\Rightarrow AC\bot(SIH) \right.$.
$\left. \left. \begin{array}{l} {BD\bot AC} \\ {SI\bot AC} \end{array} \right\}\Rightarrow AC\bot(SBD) \right.$.
$\left. \left. \begin{array}{l} {AC\bot(SIH)} \\ {AC\bot(SBD)} \\ {I \in (SIH) \cap (SBD)} \end{array} \right\}\Rightarrow \right.$ Hai mặt phẳng (SIH) và (SBD) trùng nhau $\left. \Rightarrow H \in (SBD) \right.$.
$\left. \left. \begin{array}{l} {H \in (SBD)} \\ {H \in (ABCD)} \\ {(SBD) \cap (ABCD) = BD} \end{array} \right\}\Rightarrow H \in BD \right.$.
Ta có $\left. BI\bot AC\Rightarrow BH\bot AC \right.$ (1)
$\left. \left. \begin{array}{l} {AB\bot SC} \\ \left. SH\bot(ABCD)\Rightarrow SH\bot AB \right. \end{array} \right\}\Rightarrow AB\bot(SHC)\Rightarrow AB\bot CH \right.$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra H là trực tâm của tam giác ABC.
Mà ABCD là hình thoi có $\widehat{ABC} = 60^{\text{o}}$, suy ra các tam giác ABC và ADC là các tam giác đều.
Vì vậy, H vừa là trực tâm, vừa là trọng tâm của tam giác ABC.
Gắn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho gốc tọa độ O trùng với H, tia Ox song song với AC và cắt BC, D thuộc tia Oy, S thuộc tia Oz.
Ta có $ID = BI = \dfrac{\sqrt{3}}{2}.3\sqrt{2} = \dfrac{3\sqrt{6}}{2}$;
$HI = \dfrac{1}{3}BI = \dfrac{1}{3}.\dfrac{3\sqrt{6}}{2} = \dfrac{\sqrt{6}}{2}$.
$ HD = HI + ID = \dfrac{3\sqrt{6}}{2} + \dfrac{\sqrt{6}}{2} = 2\sqrt{6}$
$\Rightarrow D\left( {0;2\sqrt{6};0} \right) $.
$SI = \dfrac{\sqrt{3}}{2}.3\sqrt{2} = \dfrac{3\sqrt{6}}{2}$,
$ SH = \sqrt{SI^{2} - HI^{2}}= \sqrt{\left( \dfrac{3\sqrt{6}}{2} \right)^{2} - \left( \dfrac{\sqrt{6}}{2} \right)^{2}} = 2\sqrt{3}$
$\Rightarrow S\left( {0;0;2\sqrt{3}} \right) $.
$\left. BH = \dfrac{2}{3}BI = \dfrac{2}{3}.\dfrac{3\sqrt{6}}{2} = \sqrt{6}\Rightarrow B\left( {0; - \sqrt{6};0} \right) \right.$.
$\left. \left. \begin{array}{l} {AI = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{3\sqrt{2}}{2}} \\ {HI = \dfrac{\sqrt{6}}{2}} \end{array} \right\}\Rightarrow A\left( {- \dfrac{3\sqrt{2}}{2};\dfrac{\sqrt{6}}{2};0} \right) \right.$.
$\overset{\rightarrow}{AB} = \left( {\dfrac{3\sqrt{2}}{2};\dfrac{- 3\sqrt{6}}{2};0} \right)$, $\overset{\rightarrow}{SD} = \left( {0;2\sqrt{6}; - 2\sqrt{3}} \right)$, $\overset{\rightarrow}{BS} = \left( {0;\sqrt{6};2\sqrt{3}} \right)$.
$d\left( {AB,SD} \right) = \dfrac{\left| {\left\lbrack {\overset{\rightarrow}{AB},\overset{\rightarrow}{SD}} \right\rbrack.\overset{\rightarrow}{BS}} \right|}{\left| \left\lbrack {\overset{\rightarrow}{AB},\overset{\rightarrow}{SD}} \right\rbrack \right|} = 3$.
