Đề bài

Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình $\sin \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{1}{2}$ trên đường tròn lượng giác là?

A.

1
B.

2
C.

4
D.

6

Phương pháp giải

Giải phương trình bằng cách sử dụng công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản rồi biểu diễn từng họ nghiệm trên đường tròn lượng giác.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

$\sin \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \sin(2x + \frac{\pi}{3}) = \sin \frac{\pi}{6}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} 2x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + k2\pi \\ 2x + \frac{\pi}{3} = \pi - \frac{\pi}{6} + k2\pi \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} x = -\frac{\pi}{12} + k\pi \\ x = \frac{\pi}{4} + k\pi \end{cases}$ $(k \in \mathbb{Z})$.

Biểu diễn hai họ nghiệm trên đường tròn lượng giác:

Vậy có tất cả 4 vị trí biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng giác.

Đáp án : C

Mở rộng

Công thức nghiệm của phương trình sinx = m

a) Tổng quát

TH1: $\left| m \right| > 1$: Phương trình vô nghiệm.

TH2: $\left| m \right| \le 1$: $\sin x = m \Leftrightarrow \sin x = \sin \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = \pi - a + k2\pi \end{array} \right.$ $(k \in \mathbb{Z})$.

Nếu m không thể biểu diễn được dưới dạng sin của các góc đặc biệt thì:

$\sin x = m \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \arcsin m + k2\pi \\x = \pi - \arcsin m + k2\pi \end{array} \right.$ $(k \in \mathbb{Z})$.

b) Trường hợp đặc biệt

$\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi $ $(k \in \mathbb{Z})$;

$\sin x = - 1 \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi $ $(k \in \mathbb{Z})$;

$\sin x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x = \pi + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow x = k\pi $ $(k \in \mathbb{Z})$.

Đường tròn lượng giác

Trên đường tròn lượng giác, gọi M là điểm biểu diễn góc lượng giác có số đo $\alpha $. Khi đó:

- Tung độ ${y_M}$ của M gọi là sin của $\alpha $, kí hiệu $\sin \alpha $.

- Hoành độ ${x_M}$ của M gọi là cosin của $\alpha $, kí hiệu $\cos \alpha $.

- Nếu ${x_M} \ne 0$ thì tỉ số $\frac{{{y_M}}}{{{x_M}}} = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}$ gọi là tang của $\alpha $, kí hiệu $\tan \alpha $.

- Nếu ${y_M} \ne 0$ thì tỉ số $\frac{{{x_M}}}{{{y_M}}} = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}$ gọi là cotang của $\alpha $, kí hiệu $\cot \alpha $.

Các giá trị $\sin \alpha $, $\cos \alpha $, $\tan \alpha $ và $\cot \alpha $ được gọi là các giá trị lượng giác của góc lượng giác $\alpha $.

Chú ý:

+ Trục cosin: Trục hoành Ox.

+ Trục sin: Trục tung Oy.

+ Trục tang: Trục As có gốc ở điểm A(1;0) và song song với trục sin (trục Oy).

+ Trục cotang: Trục Bt có gốc ở điểm B(0;1) và song song với trục cos (trục Ox).

Báo lỗi/Góp ý

Các bài tập cùng chuyên đề

Bài 1 :

a) Quan sát Hình 1.19, tìm các nghiệm của phương trình đã cho trong nửa khoảng $\left[ {0;2\pi } \right)$

b) Dựa vào tính tuần hoàn của hàm số sin, hãy viết công thức nghiệm của phương trình đã cho.

Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình \(\sin \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{1}{2}\) trên đường tròn lượng giác là?