Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):{(x - 2)^2} + {(y + 1)^2} + {(z - 4)^2} = 10$ và mặt phẳng $(P): - 2x + y + \sqrt 5 z + 9 = 0$ . Gọi $(Q)$ là tiếp diện của $(S)$ tại $M(5;0;4)$ . Tính góc giữa $(P)$ và $(Q)$.

Gọi mặt cầu tâm $I(2;-1;4)$.

Mặt phẳng tiếp diện của mặt cầu $(S)$ (tâm $I$, bán kính $R$) tại điểm $M$ chính là mặt phẳng đi qua điểm $M$ và vuông góc với bán kính $IM $ tại tiếp điểm $M$

Mặt phẳng qua $M(5;0;4)$ vuông góc với $IM $ ($\overrightarrow {IM}  = (3;1;0)$) có phương trình:

\((Q): 3\left( {x - 5} \right) + {\text{ }}y\; = 0 \Leftrightarrow 3x + y-15 = 0\)

Có: ${\overrightarrow n _P}( - 2;1;\sqrt 5 );{\overrightarrow n _Q}(3;1;0)$

Nên ta có: 

\(\cos \widehat {\left( {(P);(Q)} \right)} = \left| {\cos \widehat {\left( {\overrightarrow {{n_P}} ;\overrightarrow {{n_Q}} } \right)}} \right| = \dfrac{{\left| { - 6 + 1} \right|}}{{\sqrt {10} .\sqrt {10} }} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \widehat {\left( {(P);(Q)} \right)} = {60^0}\)