Các vật liệu xây dựng đều có hệ số dãn nở. Vì thế, khi đặt dầm cầu, người ta thường đặt cố định một đầu dầu, đầu còn lại đặt trên một con lăn có thể di động được nhằm giải quyết sự dãn nở của vật liệu. Hình 21 minh họa một dầm cầu được đặt ở hai bờ kênh, giới hạn bởi hai cung parabol có cùng trục đối xứng. Người ta thiết kế các thanh giằng nối hai cung parabol đó sao cho các thanh giằng theo phương thẳng đứng cách đều nhau và cách đều hai đầu dầm.

Tính tổng độ dài của các thanh giằng theo phương thẳng đứng.

Trongg mặt phẳng tọa độ Oxy, parabol (P) có phương trình chính tắc và đi qua điểm A(6;6). Tìm tham số tiêu và phương trình đường chuẩn của (P).

Cho parabol có phương trình chính tắc \(y = 2px\) (H.3.18).

a) Nếu điểm \(M({x_0};{y_0})\) thuộc parabol thì điểm \(N({x_0}; - {y_0})\) có thuộc parabol hay không?

b) Từ phương trình chính tắc của parabol, có thể rút ra điều gì về hoành độ của những điểm thuộc parabol?

Theo các bước sau, hãy giải quyết vấn đề đã được nêu ra ở phần mở đầu bài học.

a) Tìm chiều cao của cổng mà bác Vinh đã tham quan;

b) Tìm chiều cao và chiều rộng của mô hình thu nhỏ mà bác Vinh dự định làm;

c) Tìm phương trình chính tắc của mô hình đó, theo đơn vị mét;

d) Nếu tại tiêu điểm của mô hình, bác Vinh treo một hình sao thì ngôi sao đó ở độ cao bao nhiêu mét so với mặt đất?

Một sao chổi chuyển động theo quỹ đạo parabol nhận tâm Mặt trời làm tiêu điểm. Khoảng cách ngắn nhất từ sao chổi đến tâm Mặt Trời là \({10^6}\) km. Lập phương trình chính tắc của quỹ đạo theo đơn vị kilomet. Hỏi khi sao chổi nằm trên vuông góc với trục đối xứng của quỹ đạo tại tâm Mặt Trời, thì khoảng cách từ sao chổi đến tâm Mặt Trời là bao nhiêu kilomet?

Cho parabol có phương trình \({y^2} = 8x\). Tìm tọa độ tiêu điểm và phương trình đường chuẩn của parabol. Tính bán kính qua tiêu của một điểm M thuộc parabol biết điểm có tung độ bằng 4.

Cho parabol có phương trình chính tắc \({y^2} = 2px\) (H.3.19).

a) Nêu tọa độ điểm F và phương trình đường chuẩn của \(\Delta \) của parabol.

b) Cho điểm \(M({x_0};{y_0})\) thuộc parabol. Hãy so sánh MF với \(d(M,\Delta )\), từ đó, tính MF theo \({x_0},{y_0}\).

Cho parabol có phương trình \({y^2} = 12x\). Tìm tiêu điểm và đường chuẩn của parabol. Tính bán kính qua tiêu của điểm M thuộc parabol và có hoành độ bằng 5.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, parabol (P) có phương trình chính tắc và đi qua điểm \(M(3;3\sqrt 2 )\). Tính bán kính qua tiêu của điểm M và khoảng cách từ tiêu điểm tới đường chuẩn của (P).

Xét đèn có bát đáy parabol với kích thước được thể hiện trên Hình 3.20. Dây tóc bóng đèn được đặt ở vị trí tiêu điểm. Tính khoảng cách từ dây tóc tới đỉnh bát đáy.

Ăng-ten vệ tinh parabol ở Hình 3.21 có đầu thu đặt tại tiêu điểm, đường kính miệng ăng-ten là 240 cm, khoảng cách từ vị trí đặt đầu thu tới miệng ăng-ten là 130 cm. Tính khoảng cách từ vị trí đặt đầu thu tới đỉnh ăng-ten.

Viết phương trình của đường conic có tâm sai bằng 1, tiêu điểm F(2; 0) và đường chuẩn là \(\Delta :x + 2 = 0\).

Chứng minh rằng đồ thị của hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\;(a \ne 0)\) là một parabol có tiêu điểm là \(F(\frac{{ - b}}{{2a}};\frac{{1 - \Delta }}{{4a}})\) và đường chuẩn là \(y =  - \frac{{1 + \Delta }}{{4a}}\), trong đó \(\Delta  = {b^2} - 4ac\).

Cho hai parabol có phương trình \({y^2} = 2px\) và \(y = a{x^2} + bx + c\;(a \ne 0)\). Chứng minh rằng nếu hai parabol đó cắt nhau tại bốn điểm phân biệt thì bốn điểm đó cùng nằm trên đường tròn (C): \({x^2} + {y^2} + \left( {\frac{b}{a} - 2p} \right)x - \frac{1}{a}y + \frac{c}{a} = 0\).

Một tàu vũ trụ nằm trong một quỹđạo tròn và ở độ cao 148 km so với bề mặt Trái Đât (H.3.27). Sau khi đạt được vận tốc cần thiết để thoát khỏi lực hấp dẫn của Trái Đất, tàu vũ trụ sẽ đi theo quỹ đạo parabol với tâm Trái Đất là tiêu điểm; điểm khởi đầu của quỹ đạo này là đỉnh parabol quỹ đạo.

a) Viết phương trình chính tắc của parabol quỹ đạo (1 đơn vị đo trên mặt phẳng toạ độ ứng với 1 km trên thực tế, lấy bán kính Trái Đất là 6 371 km).

b) Giải thích vì sao, kể từ khi đi vào quỹ đạo parabol, càng ngày, tàu vũ trụ càng cách xa Trái Đất.

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), ta xét parabol (P) với phương trình chính tắc \({y^2} = 2px\) trong đó \(p > 0\) (Hình 19).

a) Tìm tọa độ của tiêu điểm F của parabol (P).

b) Tìm tọa độ điểm H và viết phương trình đường chuẩn \(\Delta \) của parabol (P).

c) Cho điểm \(M\left( {x;y} \right)\) nằm trên parabol (P). Gọi \({M_1}\) là điểm đối xứng của M qua trục Ox. Điểm \({M_1}\) có nằm trên parabol (P) không? Tại sao?

a) Lập phương trình chính tắc của parabol (P), biết phương trình đường chuẩn là \(x =  - 2\).

b) Tìm tọa độ tiêu điểm của parabol (P).

c) Tìm tọa độ điểm M thuộc parabol (P), biết khoảng cách từ M đến tiêu điểm bằng 6.

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), ta xét parabol (P) với phương trình chính tắc \({y^2} = 2px\) trong đó \(p > 0\) (Hình 20).

a) So sánh khoảng cách từ MF từ điểm M đến tiêu điểm F và khoảng cách MK từ điểm M đến đường thẳng \(\Delta \).

b) Tính độ dài đoạn thẳng MK. Từ đó tính độ dài đoạn thẳng MF.

Vẽ parabol \({y^2} = 2px\) biết tiêu điểm của parabol là \(F\left( {\frac{1}{4};0} \right)\).

Vẽ parabol (P): \({y^2} = 4x\).

Viết phương trình chính tắc của parabol (P) trong mỗi trường hợp sau:

a) Tiêu điểm là \({F_2}\left( {5;0} \right)\).

b) Phương trình đường chuẩn là \(x =  - 4\).

c) Parabol đi qua điểm \(A\left( {4;9} \right)\).

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol có phương trình chính tắc là \({y^2} = 8x\).

a) Xác định tọa độ tiêu điểm và phương trình đường chuẩn của parabol.

b) Vẽ parabol.

Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm \(A(2;0)\) và đường thẳng \(d:x + 2 = 0\). Viết phương trình của đường (L) là tập hợp các tâm \(J(x;y)\) của các đường tròn (C) thay đổi nhưng luôn luôn đi qua A và tiếp xúc với d.

Tìm tọa độ tiêu điểm, tọa độ đỉnh, phương trình đường chuẩn và trục đối xứng của các parabol sau:

a) \(({P_1}):{y^2} = 2x\).

b) \(({P_2}):{y^2} = x\).

c) \(({P_3}):{y^2} = \frac{1}{5}x\).

Chứng tỏ rằng nếu điểm \(M({x_0};{y_0})\) nằm trên parabol (P) thì điểm \(N({x_0}; - {y_0})\) cũng nằm trên parabol (P).

Mặt cắt của một chảo ăng-ten có dạng một parabol (P) có phương trình chính tắc \({y^2} = 0,25x\). Biết đầu thu tín hiệu của chảo ăng-ten tại tiêu điểm F của (P). Tính khoảng cách từ điểm \(M(0,25;0,25)\) trên ăng-ten đến F.

Một cổng có dạng một đường parabol (P). Biết chiều cao của cổng là 7,6 m và khoảng cách giữa hai chân cổng là 9m. Người ta muốn treo một ngôi sao tại tiêu điểm F của (P) bằng một đoạn dây nối từ đỉnh S của cổn. Tính khoảng cách từ tâm ngôi sao đến đỉnh cổng.

Tính bán kính qua tiêu của điểm dưới đây trên parabol tương ứng.

a) Điểm \({M_1}(1; - 4)\) trên \(({P_1}):{y^2} = 16x\).

b) Điểm \({M_2}(3; - 3)\) trên \(({P_2}):{y^2} = 3x\).

c) Điểm \({M_3}(4;1)\) trên \(({P_3}):{y^2} = \frac{1}{4}x\).

Cho điểm \(M(x;y)\) trên parabol (P) \({y^2} = 2px\) (Hình 2). Tính khoảng cách từ điểm M đến tiêu điểm \(F\) của (P).

Tìm tọa độ tiêu điểm và phương trình đường chuẩn của các parabol sau:

a) \(({P_1}):{y^2} = 7x\).

b) \(({P_2}):{y^2} = \frac{1}{3}x\).

c) \(({P_3}): {y^2} = \sqrt 2 x\).

Tìm bán kính qua tiêu của điểm đã cho trên các parabol sau:

a) Điểm \({M_1}(3; - 6)\) trên \(({P_1}):{y^2} = 12x\).

b) Điểm \({M_2}(6;1)\) trên \(({P_2}):{y^2} = \frac{1}{6}x\).

c) Điểm \({M_3}(\sqrt 3 ;\sqrt 3 )\) trên \(({P_3}):{y^2} = \sqrt 3 x\).