Tại một trại hè quốc tế ở Singapore, có 72 học sinh từ Việt Nam, 108 học sinh từ Nhật Bản và 120 học sình từ Singapore. Ban tổ chức muốn chia thành các nhóm có số lượng thành viên ở mỗi quốc gia đều nhau để triển khai các hoạt động học tập.
a) Số lượng nhóm nhiều nhất có thể là bao nhiêu?
b) Khi chia các học sinh theo số lượng nhóm nhiều nhất thì trong mỗi nhóm, số học sinh Việt Nam là bao nhiêu?
Gọi số lượng nhóm nhiều nhất có thể là a.
Vì 72 học sinh từ Việt Nam, 108 học sinh từ Nhật Bản và 120 học sình từ Singapore được chia đều vào các nhóm nên \(72 \vdots a;108 \vdots a;120 \vdots a\) và a lớn nhất nên a = ƯCLN(72;108;120).
Phân tích các số thành thừa số nguyên tố để tìm a.
Số học sinh Việt Nam trong mỗi nhóm = tổng số học sinh Việt Nam : a.
Gọi số lượng nhóm nhiều nhất có thể là a.
Vì 72 học sinh từ Việt Nam, 108 học sinh từ Nhật Bản và 120 học sình từ Singapore được chia đều vào các nhóm nên \(72 \vdots a;108 \vdots a;120 \vdots a\) và a lớn nhất nên a = ƯCLN(72;108;120).
Ta có:
\(72 = {2^3}{.3^2}\)
\(108 = {2^2}{.3^3}\)
\(120 = {2^3}.3.5\)
ƯCLN(72;108;120) = \({2^2}.3 = 12\).
a) Vậy số lượng nhóm nhiều nhất có thể là 12 nhóm.
b) Số học sinh Việt Nam khi chia theo số lượng nhóm nhiều nhất là: 72 : 12 = 6 (học sinh).
Bài toán này liên quan đến khái niệm Ước chung lớn nhất (ƯCLN). ƯCLN của hai hay nhiều số là số tự nhiên lớn nhất mà là ước chung của tất cả các số đó. Nói cách khác, ƯCLN là số lớn nhất chia hết tất cả các số đã cho mà không để lại số dư.
Trong bài toán này, việc chia đều học sinh từ các quốc gia vào các nhóm có nghĩa là số lượng nhóm phải là một ước chung của số học sinh từ mỗi quốc gia.
Để tìm số lượng nhóm nhiều nhất có thể, chúng ta cần tìm ước chung lớn nhất của số học sinh Việt Nam (72), Nhật Bản (108), và Singapore (120).
Phương pháp giải chung cho dạng bài này: Dạng bài toán tìm số lượng phần tử lớn nhất để chia đều một tập hợp các đối tượng thường sử dụng ƯCLN. Các bước giải chung bao gồm:
- Xác định các đại lượng cần chia đều: Nhận diện các số lượng cần được chia thành các phần bằng nhau (ví dụ: số lượng học sinh từ các quốc gia khác nhau).
- Thiết lập mối quan hệ ƯCLN: Nhận ra rằng "số lớn nhất có thể" (ví dụ: số nhóm lớn nhất) chính là Ước chung lớn nhất của các đại lượng đã cho.
- Phân tích các số ra thừa số nguyên tố: Thực hiện phân tích từng số thành tích của các thừa số nguyên tố.
- Tính ƯCLN: Lấy tích của các thừa số nguyên tố chung, mỗi thừa số được lấy với số mũ nhỏ nhất của nó.
- Trả lời câu hỏi cụ thể của bài toán: Sử dụng kết quả ƯCLN để giải quyết các yêu cầu phụ khác của bài toán (ví dụ: tính số lượng thành viên trong mỗi nhóm).
Các bài tập cùng chuyên đề
Lớp 6A có 18 bạn Nam và 24 bạn Nữ. Trong một buổi sinh hoạt lớp, bạn lớp trưởng dự kiến chia các bạn thành từng nhóm sao cho số bạn nam trong mỗi nhóm đều bằng nhau và số bạn nữ cũng vậy. Hỏi có thể chia được nhiều nhất thành bao nhiêu nhóm? Khi đó mỗi nhóm có bao nhiêu bạn nam, bao nhiêu bạn nữ?
Tìm ƯCLN của hai số:
a) 40 và 70; b) 55 và 77.
Tìm ƯCLN của:
a) 22. 5 và 2. 3. 5
b) \(2^4. 3; 2^2.3^2. 5\) và \(2^4.11.\)
Các phân số sau đã là phân số tối giản chưa? Nếu chưa, hãy rút gọn về phân số tối giản.
a) \(\frac{{27}}{{123}}\);
b) \(\frac{{33}}{{77}}\).
Có 12 quả cam, 18 quả xoài và 30 quả bơ. Mẹ muốn Mai chia đều mỗi loại quả đó vào các túi quà sao cho mỗi túi đều có cả cam, xoài và bơ. Hỏi Mai có thể chia được nhiều nhất là mấy túi quả?
Các phân số sau đã tối giản chưa? Nếu chưa, hãy rút gọn về phân số tối giản
a) \(\frac{15}{17}\)
b) \(\frac{70}{105}\)
Từ ba tấm gỗ có độ dài 56 dm, 48 dm và 40 dm, bác thợ mộc muốn cắt thành các thanh gỗ có độ dài như nhau mà không để thừa mẩu gỗ nào. Hỏi bác cắt như thế nào để được các thanh gỗ có độ dài lớn nhất có thể?
Tìm ƯCLN(45, 150), biết 45 = 32.5 và 150 = 2.3.52.
Tìm ƯCLN(36, 84).
Một đại đội bộ binh có ba trung đội trung đội I có 24 chiến sĩ, trung đội II có 28 chiến sĩ, trung đội III có 36 chiến sĩ. Trong cuộc diễu binh, cả ba trung đội phải xếp thành các hàng dọc đều nhau mà không có chiến sĩ nào trong mỗi trung đội bị lẻ hàng. Hỏi có thể xếp được nhiều nhất bao nhiêu hàng dọc?
Rút gọn về phân số tối giản: a) \(\frac{{90}}{{27}}\); b) \(\frac{{50}}{{125}}\).
Tìm ƯCLN(24, 60); ƯCLN(14, 33); ƯCLN(90, 135, 270).
Tìm:
a) ƯCLN(1,16);
b) ƯCLN(8, 20);
c) ƯCLN (84, 156);
d) ƯCLN (16, 40, 176).
Chị Lan có ba đoạn dây ruy băng màu khác nhau với độ dài lần lượt là 140 cm, 168 cm và 210 cm. Chị muốn cắt cả ba đoạn dây đó thành những đoạn ngắn hơn có cùng chiều dài để làm nơ trang trí mà không bị thừa ruy băng. Tính độ dài lớn nhất có thể của mỗi đoạn dây ngắn được cắt ra (độ dài mỗi đoạn dây ngắn là một số tự nhiên với đơn vị là xăng-ti-mét). Khi đó, chị Lan có được bao nhiêu đoạn dây ruy băng ngắn.
Nhóm các bạn lớp 6B cần chia 48 quyển vở, 32 chiếc thước kẻ và 56 bút chì vào trong các túi quà để mang tặng các bạn trung tâm trẻ mồ côi sao cho số quyển vở, thước kẻ và bút chì ở mỗi túi đều như nhau. Tính số lượng túi quà nhiều nhất mà nhóm các bạn có thể chia được. Khi đó, số lượng vở, thước kẻ, bút chì trong mỗi túi là bao nhiêu?
Tìm ước chung lớn nhất của từng cặp số trong 3 số sau đây:
a) 31, 22, 34
b) 105, 128, 135
Một nhóm gồm 24 bạn nữ và 30 bạn nam tham gia một số trò chơi. Có thể chia các bạn thành nhiều nhất bao nhiêu đội chơi sao cho số bạn nam cũng như số bạn nữ được chia đều vào các đội?
Một khu đất có dạng hình chữ nhật với chiều dài 48m, chiều rộng 42m. Người ta muốn chia khu đất ấy thành những mảnh hình vuông bằng nhau (với độ dài cạnh đo theo đơn vị mét là số tự nhiên) để trồng các loại rau. Có thể chia được bằng bao nhiêu cách? Với cách chia nào thì cạnh của mảnh đất hình vuông là lớn nhất và bằng bao nhiêu?
Tìm ƯCLN của hai số:
a) 40 và 60;
b) 16 và 124;
c) 41 và 47.
Tìm ƯCLN của 126 và 162.
Tìm ƯCLN(8,27).
Tìm:
a) UCLN(56,140)
b) UCLN(90,135,270)
Mai có một tờ giấy màu hình chữ nhật kích thước 20 cm và 30 cm. Mai muốn cắt tờ giấy thành các mảnh nhỏ hình vuông bằng nhau để làm thủ công sao cho tờ giấy được cắt vừa hết, không còn thừa mảnh nào. Tính độ dài lớn nhất của cạnh hình vuông nhỏ (số đo cạnh của hình vuông là một số tự nhiên với đơn vị là xăng-ti-mét).
Lớp bạn Hoa cần chia 171 chiếc bút bi, 63 chiếc bút chỉ và 27 cục tẩy vào trong các túi quà mang tặng các bạn ở trung tâm trẻ mồ côi sao cho số bút bi, bút chì và cục tẩy ở mỗi túi đều như nhau. Tính số lượng túi quà nhiều nhất mà các bạn lớp Hoa có thể chia. Khi đó, số lượng của mỗi loại bút bi, bút chì, cục tẩy trong mỗi túi là bao nhiêu?
Tìm số tự nhiên a lớn nhất, biết rằng 480 ⁝ a và 720 ⁝ a.
Ba khối 6,7 và 8 lần lượt có 300 học sinh, 276 học sinh và 252 học sinh xếp thành các hàng dọc để diễu hành sao cho số hàng dọc của mỗi khối như nhau. Có thể xếp nhiều nhất thành mấy hàng dọc để mỗi khối đều không có ai lẻ hàng? Khi đó ở mỗi hàng dọc của mỗi khối có bao nhiêu học sinh?
ƯCLN của 40 và 60 là
A. 15
B. 20
C. 4
D. 6.
