Một chiếc đồng hồ cát như hình vẽ, gồm hai phần đối xứng nhau qua mặt nằm ngang và đặt trong một hình trụ. Thiết diện thẳng đứng qua trục của nó là hai parabol chung đỉnh và đối xứng nhau qua mặt nằm ngang. Ban đầu lượng cát dồn hết ở phần trên của đồng hồ thì chiều cao h của mực cát bằng 3/4 chiều cao của bên đó (xem hình).
Cát chảy từ trên xuống dưới với lưu lượng không đổi 12,72 \(c{m^3}\)/phút. Khi chiều cao của cát còn 4 cm thì bề mặt trên cùng của cát tạo thành một đường tròn có chu vi \(8\pi \) cm (xem hình). Biết sau 10 phút thì cát chảy hết xuống phần bên dưới của đồng hồ. Hỏi chiều cao của khối trụ bên ngoài là bao nhiêu cm?
-
A.
10 cm
-
B.
9 cm
-
C.
8 cm
-
D.
12 cm
Tìm công thức tính diện tích S của bề mặt khối cát.
Áp dụng công thức \(V = \int\limits_a^b {S(y)dy} \) để tính thể tích khối cát theo h.
Từ tốc độ và thời gian cát chảy, tính thể tích khối cát V. Từ đó suy ra h và kết luận chiều cao khối trụ.
Gọi (P) là mặt phẳng song song với đáy của hình trụ và cắt đồng hồ cát.
Khi đó, mặt cắt là một đường tròn có bán kính x (cm), diện tích hình tròn là \(S = \pi {x^2}\) \(\left( {c{m^2}} \right)\).
Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ.
Giả sử (P): \(y = a{x^2} + bx + c\) \(\left( {a \ne 0} \right)\).
Khi chiều cao của cát là 4 cm thì chu vi đường tròn bề mặt cát là \(8\pi \).
Khi đó, bán kính đường tròn là \(\frac{{8\pi }}{{2\pi }} = 4\) cm.
Do đó, ta có các điểm (P) đi qua: O(0;0), A(4;4), B(-4;4).
Ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}4 = a{.4^2} + b.4 + c\\4 = a{( - 4)^2} + b( - 4) + c\\0 = a{.0^2} + b.0 + c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{4}\\b = c = 0\end{array} \right.\)
Do đó (P): \(a = \frac{1}{4}{x^2} \Leftrightarrow {x^2} = 4y\).
Suy ra \(S = \pi {x^2} = 4\pi y\).
Thể tích khối cát được tính theo công thức:
\(V = \int\limits_0^h {Sdy} = \int\limits_0^h {4\pi ydy} = 4\pi \int\limits_0^h {ydy} \)
\(= 2\pi {y^2}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^h}\\{_0}\end{array}} \right. = 2\pi {h^2}\).
Mặt khác, khối cát chảy với tốc độ 12,72 \(c{m^3}\)/phút trong 10 phút thì hết nên thể tích khối cát là 12,72.10 = 127,2 \(\left( {c{m^3}} \right)\).
Suy ra \(V = 2\pi {h^2} = 127,2 \Leftrightarrow h = \sqrt {\frac{{127,2}}{{2\pi }}} \approx 4,5\).
Chiều cao của khối trụ bên ngoài là: \(2.\frac{4}{3}h \approx 2.\frac{4}{3}.4,5 = 12\) (cm).
Đáp án : D
1. Phương pháp tọa độ:
Việc sử dụng hệ trục tọa độ là một nguyên tắc cơ bản của hình học giải tích để chuyển bài toán hình học sang bài toán đại số. Hệ trục được chọn sao cho phương trình parabol có dạng đơn giản nhất.
2. Xác định phương trình đường parabol:
Phương trình parabol có dạng \(y = a{x^2} + bx + c\) \(\left( {a \ne 0} \right)\).
Từ các điểm mà đồ thị qua, thay tọa độ vào phương trình trên để tìm được hệ số a, b, c.
3. Tính thể tích thể tích vật thể ứng dụng tích phân:
Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Oy tại các điểm có tung độ y = a, y = b. Khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục Oy tại điểm y $(a \le y \le b)$, phần chung giữa mặt phẳng và vật thể có diện tích S(y). Khi đó, thể tích V của vật thể B được tính bởi công thức: $V = \int\limits_a^b {S(y)dy} $.
Các bài tập cùng chuyên đề
a) Tính thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình thang vuông OABC trong mặt phẳng Oxy với \(OA = h,AB = R\) và \(OC = r\), quanh trục Ox (H.4.28).
b) Từ công thức thu được ở phần a, hãy rút ra công thức tính thể tích của khối nón có bán kính đáy bằng R và chiều cao h.
Xét hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{2}x\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0,x = 4\). Khi quay hình phẳng này xung quanh trục hoành Ox ta được khối nón có đỉnh là gốc O, trục là Ox và đáy là hình tròn bán kính bằng 2 (H.4.25).
a) Tính thể tích V của khối nón.
b) Chứng minh rằng khi cắt khối nón bởi mặt phẳng vuông góc với trục hoành tại điểm có hoành độ bằng x \(\left( {0 \le x \le 4} \right)\) thì mặt cắt thu được là một hình tròn có bán kính là f(x), do đó diện tích mặt cắt là \(S\left( x \right) = \pi {f^2}\left( x \right)\). Tính \(\pi \int\limits_0^4 {{f^2}\left( x \right)dx} \) và so sánh với V.
Tính thể tích của khối chóp cụt đều có diện tích hai đáy là \({S_o},{S_1}\) và chiều cao bằng h (H.4.24). Từ đó suy ra công thức tính thể tích khối chóp đều có diện tích đáy bằng S và chiều cao bằng h.
Xét hình trụ có bán kính đáy R, có trục là trục hoành Ox, nằm giữa hai mặt phẳng \(x = a\) và \(x = b\left( {a < b} \right)\) (H.4.20).
a) Tính thể tích V của hình trụ.
b) Tính diện tích mặt cắt S(x) khi cắt hình trụ bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ là x \(\left( {a \le x \le b} \right)\). Từ đó tính \(\int\limits_a^b {S\left( x \right)dx} \) và so sánh với V.
Tính thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường sau xung quanh trục Ox: \(y = 2x - {x^2},y = 0,x = 0,x = 2\).
Khối chỏm cầu có bán kính R và chiều cao h\(\left( {0 < h \le R} \right)\) sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi cung tròn có phương trình \(y = \sqrt {{R^2} - {x^2}} \), trục hoành và hai đường thẳng \(x = R - h,x = R\) xung quanh trục Ox (H.4.30). Tính thể tích của khối chỏm cầu này.
Cho tam giác vuông OAB có cạnh \(OA = a\) nằm trên trục Ox và \(\widehat {AOB} = \alpha \left( {0 < \alpha \le \frac{\pi }{4}} \right)\). Gọi \(\beta \) là khối tròn xoay sinh ra khi quay miền tam giác OAB xung quanh trục Ox (H.4.31).
a) Tính thể tích V của \(\beta \) theo a và \(\alpha \).
b) Tìm \(\alpha \) sao cho thể tích V lớn nhất.
Cho hình phẳng (S) giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \sqrt {1 - {x^2}} \), trục hoành và hai đường thẳng \(x = - 1,x = 1\). Thể tích của khối tròn xoay khi quay (S) quanh Ox là
A. \(\frac{{3\pi }}{4}\).
B. \(\frac{{3\pi }}{2}\).
C. \(\frac{{2\pi }}{3}\).
D. \(\frac{{4\pi }}{3}\).
Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường sau xung quanh trục Ox:
a) \(y = 1 - {x^2},y = 0,x = - 1,x = 1\);
b) \(y = \sqrt {25 - {x^2}} ,y = 0,x = 2,x = 4\).
Nghệ thuật làm gốm có lịch sử phát triển lâu đời và vẫn còn tồn tại cho đến ngày nay. Giả sử một bình gốm có mặt trong bình là một mặt tròn xoay sinh ra khi cho phần đồ thị của hàm số \(y = \frac{1}{{175}}{x^2} + \frac{3}{{35}}x + 5\left( {0 \le x \le 30} \right)\) (x, y tính theo cm) quay tròn quanh bệ gồm có trục trùng với trục hoành Ox. Hỏi để hoàn thành bình gốm đó ta cần sử dụng bao nhiêu \(c{m^3}\) đất sét, biết rằng bình gốm đó có độ dày không đổi là 1 cm.
Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = 2\sqrt x ,y = 0,x = 0\) và \(x = 4\). Thể tích V của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng (H) quanh trục Ox là
A. \(V = 32\).
B. \(V = 32\pi \).
C. \(V = \frac{{32}}{3}\).
D. \(V = \frac{{32\pi }}{3}\).
Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = - {x^2} + 2x;y = 0,x = 0\) và \(x = 2\). Tính thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng (H) xung quanh trục Ox.
Xét hình tròn tâm O, bán kính r (Hình 24). Nửa hình tròn đó là hình phẳng giới hạn bởi trục Ox và đồ thị hàm số y = f(x)
a) Tìm hàm số y = f(x)
b) Quay nửa hình tròn đó quanh trục hoành, ta nhận được hình cầu tâm O bán kính r (Hình 25). Xét điểm M(x;f(x)) \(( - r \le x \le r)\) nằm trên nửa đường tròn tâm O bán kính r. Gọi H(x;0) là hình chiếu của điểm M trên trục Ox. Khi quay nửa hình tròn quanh trục hoành, đoạn thẳng HM tạo nên một hình tròn tâm H bán kính f(x)
Tính diện tích S(x) của hình tròn đó theo f(x)
Từ đó, sử dụng công thức tính thể tích vật thể, hãy tính thể tích V của hình cầu tâm O bán kính r
Cắt khối lập phương có cạnh bằng 1 bởi một mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox tại x, với ta nhận được hình phẳng có diện tích là S(x) (Hình 17)
a) Tính S(x)
b) So sánh thể tích khối lập phương đó với \(\int\limits_0^1 {S(x)dx} \)
Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(f(x) = \sqrt x \), trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 2 quay quanh trục Ox là:
A. \(\pi \int\limits_0^2 {\sqrt x dx} \)
B. \(\pi \int\limits_0^2 {xdx} \)
C. \(\int\limits_0^2 {\sqrt x dx} \)
D. \(\int\limits_0^2 {xdx} \)
Cho đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{x}\) và khối tròn xoay như Hình 31.
a) Hình phẳng được giới hạn bởi các đường nào để khi xoay quanh trục Ox ta được khối tròn xoay như Hình 31?
b) Tính thể tích khối tròn xoay đó.
Cho tam giác vuông OPM có cạnh OP nằm trên trục Ox. Giả sử \(\widehat {POM} = \alpha ,OM = l(0 \le \alpha \le \frac{\pi }{3};l > 0)\). Gọi \({\rm N}\) là khối tròn xoay thu được khi quay tam giác đó xung quanh trục Ox (Hình 35). Tính thể tích của \({\rm N}\) theo \(\alpha \) và \(l\)
Sau khi đo kích thước của thùng rượu vang (Hình 36), bạn Quân xác định thùng rượu vang có dạng hình tròn xoay được tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = - 0,011{x^2} - 0,071x + 40\), trục Ox và hai đường thẳng x = -35, x = 35 quay quanh trục Ox. Tính thể tích thùng rượu đó, biết đơn vị trên mỗi trục tọa độ là centimet
Cho khối tròn xoay như Hình 39
a) Hình phẳng được giới hạn bởi các đường nào để khi quay quanh trục Ox ta được khối tròn xoay như Hình 39
b) Tính thể tích khối tròn xoay đó
Sử dụng tích phân, tính thể tích khối nón có bán kính đáy \(r\) và chiều cao \(h\). (hình 16)
Gọi \(D\) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = 1 + \frac{1}{x}\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 1\), \(x = 2\) (hình 15). Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay \(D\) quanh trục \(Ox\).
Cho \(D\) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{1}{2}x\), trục hoành và đường thẳng \(x = 4\) (hình 12a). Quay hình \(D\) xung quanh trục \(Ox\) thì được một khối nón, kí hiệu là \(N\). (hình 12b)
a) Cắt khối \(N\) bởi mặt phẳng vuông góc với trục \(Ox\) tại điểm có hoành độ \(x\) \(\left( {0 \le x \le 4} \right)\) thì mặt cắt là hình gì? Tính diện tích \(S\left( x \right)\) của mặt cắt đó.
b) Sử dụng công thức tính thể tích hình khối, tính thể tích của khối nón \(N\).
Một bình chứa nước có dạng như hình 11. Biết rằng khi nước ở trong bình có chiều cao \(x\) (dm) \(\left( {0 \le x \le 4} \right)\) thì mặt nước là hình vuông có cạnh \(\sqrt {2 + \frac{{{x^2}}}{4}} \) (dm). Tính dung tích của bình.
Trong không gian, cho hình chóp \(O.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(a\), \(OA \bot \left( {ABCD} \right)\), \(OA = h\). Đặt trục số \(Ox\) như hình 8. Một mặt phẳng vuông góc với trục \(Ox\) tại điểm có hoành độ \(x\) \(\left( {0 < x \le h} \right)\), cắt hình chóp \(O.ABCD\) theo mặt cắt là hình vuông \(A'B'C'D'\). Kí hiệu \(S\left( x \right)\) là diện tích của hình vuông \(A'B'C'D'\).
a) Tính \(S\left( x \right)\) theo \(a\), \(h\) và \(x\).
b) Tính \(\int\limits_0^h {S\left( x \right)dx} \) và so sánh với thể tích của khối chóp \(O.ABCD\).
Khi cắt một vật thể hình chiếc nêm bởi mặt phẳng vuông góc với trục \(Ox\) tại điểm có hoành độ \(x\) \(\left( { - 2 \le x \le 2} \right)\), mặt cắt là tam giác vuông có một góc \({45^o}\) và độ dài một cạnh góc vuông là \(\sqrt {4 - {x^2}} \) (dm). Tính thể tích của vật thể.
Cho \(D\) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \sqrt {4 - x} \) \(\left( {x \le 4} \right)\), trục tung và trục hoành (hình 18). Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay \(D\) quanh trục \(Ox\).
Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho hình thang \(OABC\) có \(A\left( {0;1} \right)\), \(B\left( {2;2} \right)\) và \(C\left( {2;0} \right)\) (hình 19). Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình thang \(OABC\) quanh trục \(Ox\).
Sử dụng tích phân, tính thể tích của hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng \(a\) và chiều cao bằng \(h\).
Cho \(D\) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \sqrt {x + 1} \), trục tung, trục hoành và đường thẳng \(x = 2\). Thể tích của khối tròn xoay khi quay \(D\) quanh trục hoành bằng
A. \(6\pi \)
B. \(2\pi \)
C. \(3\pi \)
D. \(4\pi \)
Tính thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường sau xung quanh \(Ox\):
a) \(y = 2\sqrt x ,{\rm{ y}} = 0,{\rm{ }}x = 1,{\rm{ }}x = 4\);
b) \(y = 4x,{\rm{ }}y = {x^3},{\rm{ }}x = 0,{\rm{ }}x = 2\).
