Đề bài

Mảnh vườn nhà ông An có dạng hình elip với bốn đỉnh ${A_1}$, ${A_2}$, ${B_1}$, ${B_2}$ như hình vẽ bên. Ông dùng 2 đường parabol có đỉnh là tâm đối xứng của elip cắt elip tại 4 điểm M, N, P, Q như hình vẽ sao cho tứ giác MNPQ là hình chữ nhật có MN = 4 để chia vườn. Phần tô đậm dùng để trồng hoa và phần còn lại để trồng rau. Biết chi phí trồng hoa là 600 000 đồng/${m^2}$ và trồng rau là 50 000 đồng/${m^2}$. Hỏi số tiền phải chi gần nhất với số tiền nào dưới đây, biết ${A_1}{A_2} = 8$ m, ${B_1}{B_2} = 4$ m?

A.

3 526 000 đồng
B.

7 120 000 đồng
C.

4 899 000 đồng
D.

11 472 000 đồng

Phương pháp giải

Lập phương trình elip và parabol. Áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng ứng dụng tích phân.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Elip có độ dài trục lớn là 2a = 8 (m) và trục nhỏ là 2b = 4 (m).

Suy ra a = 4 và b = 2. Phương trình elip là $\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1$.

Điểm M có hoành độ x = 2 và thuộc elip nên ta có:

$\frac{{{2^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1 \Leftrightarrow y = \pm \sqrt 3 $. Vì M có tung độ dương nên $M\left( {2;\sqrt 3 } \right)$.

Giả sử parabol MOQ có phương trình $x = m{y^2} + ny + p$ (m > 0).

Parabol đi qua $M\left( {2;\sqrt 3 } \right)$, đỉnh O(0;0) nên ta có hệ:

$\left\{ \begin{array}{l}2 = m{\sqrt 3 ^2} + n\sqrt 3 + p\\0 = m{.0^2} + n.0 + p\\x = m{y^2} + ny + p\\ - \frac{n}{{2m}} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = \frac{2}{3}\\n = 0\\p = 0\end{array} \right. \Rightarrow x = \frac{2}{3}{y^2}$.

Xét nửa elip bên phải trục Oy: $x = 4\sqrt {1 - \frac{{{y^2}}}{4}} $.

Diện tích phần trồng hoa (tô màu) là:

${S_1} = 2\int\limits_{ - \sqrt 3 }^{\sqrt 3 } {\left| {4\sqrt {1 - \frac{{{y^2}}}{4}} - \frac{2}{3}{y^2}} \right|dy} $ $\left( {{m^2}} \right)$.

Diện tích elip là $S = \pi ab = \pi .4.2 = 8\pi $ $\left( {{m^2}} \right)$.

Diện tích trồng rau (không màu) là: ${S_2} = S - {S_1}$ $\left( {{m^2}} \right)$.

Số tiền phải chi là:

$600000.{S_1} + 50000.{S_2} \approx 11742146$ (đồng).

Đáp án : D

Mở rộng

Các lý thuyết được áp dụng trong bài toán:

1. Phương trình chính tắc của elip:

Với hệ trục tọa độ thích hợp (ví dụ, gốc O là tâm elip, trục lớn hoặc trục nhỏ nằm trên các trục tọa độ), elip có phương trình chính tắc là $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$, trong đó $b^2 = a^2 – c^2$ với độ dài trục lớn 2a và trục nhỏ 2b của elip.

2. Phương trình parabol:

Phương trình parabol trục đối xứng Ox có dạng $x = a{y^2} + by + c$ $\left( {a \ne 0} \right)$.

Từ các điểm mà đồ thị qua, thay tọa độ vào phương trình trên để tìm được hệ số a, b, c.

3. Diện tích hình phẳng:

Tích phân xác định có thể được sử dụng để tính diện tích của các hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số, trục tọa độ và các đường thẳng. Đặc biệt, diện tích của hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong x = f(y) và x = g(y) liên tục trên đoạn [a;b] và hai đường thẳng y = a, y = b được cho bởi công thức $S = \int_a^b {\left| {f(y) - g(y)} \right|} dxy$.

Báo lỗi/Góp ý

Các bài tập cùng chuyên đề

Bài 1 :

Xét hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $y = f\left( x \right) = x + 1$, trục hoành và hai đường thẳng $x = - 2,x = 1$ (H.4.12).

a) Tính diện tích S của hình phẳng này.

b) Tính $\int\limits_{ - 2}^1 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} $ và so sánh với S.