Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, tìm tập tất cả giá trị của tham số \(m\) để mặt cầu $\left( S \right)$ có phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 2my - 4z + m + 5 = 0\)  đi qua điểm $A\left( {1;1;1} \right)$.

$\left( S \right)$ có dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0\) với \(a = -1,b =  m,c = -2\) và \(d = m + 5\).

$\left( S \right)$ là phương trình mặt cầu khi ta có \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0 \Leftrightarrow 5 + {m^2} - (m + 5) > 0 \Leftrightarrow {m^2} - m > 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m > 1}\\{m < 0}\end{array}} \right.\)

Điểm $A\left( {1,1,1} \right)$ thuộc phương trình mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 2my - 4z + m + 5 = 0\) thì ta có

\({1^2} + {1^2} + {1^2} - 2.1 + 2m.1 - 4.1 + m + 5 = 0 \Leftrightarrow 2 + 3m = 0 \Leftrightarrow m =  - \dfrac{2}{3}\) (thỏa mãn)