Đề bài

Trên một nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ot và ba tia Ox, Oy, Oz sao cho $\widehat {tOz} = 45^\circ ,\widehat {tOy} = 90^\circ ,\widehat {tOx} = 135^\circ $. Trong bốn tia Ot, Ox, Oy, Oz, tia nào nằm giữa hai tia trong ba tia còn lại? Tia Oy có phải là tia phân giác của góc xOz không? Vì sao?

Phương pháp giải

Chứng minh trên một nửa mặt phẳng bờ chứa một tia, góc tạo bởi một tia với tia đã cho có số đo góc nhỏ hơn thì tia đó nằm giữa hai tia còn lại.

Để chứng minh tia phân giác thì ta chứng mình tia đó nằm giữa hai tia tạo ra góc và chia góc đó thành hai góc bằng nhau.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

+ Trên một nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ot có $\widehat {tOz} = 45^\circ ;\widehat {tOy} = 90^\circ $.

Vì $\widehat {tOz} < \widehat {tOy}\left( {45^\circ < 90^\circ } \right)$ nên Oz nằm giữa tia Ot và tia Oy.

Suy ra $\widehat {tOz} + \widehat {zOy} = \widehat {tOy}$

hay $45^\circ + \widehat {zOy} = 90^\circ $

suy ra $\widehat {zOy} = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ $ (1)

+ Trên một nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ot có $\widehat {tOz} = 45^\circ ;\widehat {tOx} = 135^\circ $.

Vì $\widehat {tOz} < \widehat {tOx}\left( {45^\circ < 135^\circ } \right)$ nên Oz nằm giữa tia Ot và tia Oy.

Suy ra $\widehat {tOz} + \widehat {zOx} = \widehat {tOx}$

hay $45^\circ + \widehat {zOx} = 135^\circ $

suy ra $\widehat {zOx} = 135^\circ - 45^\circ = 90^\circ $ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat {zOy} < \widehat {zOx}\left( {45^\circ < 90^\circ } \right)$ nên Oy nằm giữa tia Oz và Ox.

suy ra $\widehat {zOy} + \widehat {yOx} = \widehat {zOx}$

hay $45^\circ + \widehat {yOx} = 90^\circ $

suy ra $\widehat {yOx} = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ $

+ Vì $\widehat {zOy} = \widehat {yOx} = \frac{{\widehat {zOx}}}{2} = \frac{{90^\circ }}{2} = 45^\circ $ và Oy nằm giữa tia Oz và Ox nên Oy là tia phân giác của góc xOz.

Mở rộng

Lý thuyết liên quan

Tia nằm giữa hai tia khác trên cùng một nửa mặt phẳng: Trên một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia Ot, nếu tia Oz tạo với tia Ot một góc có số đo nhỏ hơn góc mà tia Oy tạo với tia Ot ($\widehat{tOz} < \widehat{tOy}$), thì tia Oz sẽ nằm giữa tia Ot và tia Oy.
Quan hệ giữa các góc khi một tia nằm giữa hai tia khác: Nếu tia Oz nằm giữa tia Ot và tia Oy, thì tổng số đo của hai góc nhỏ kề nhau ($\widehat{tOz}$ và $\widehat{zOy}$) sẽ bằng số đo của góc lớn ($\widehat{tOy}$), tức là $\widehat{tOz} + \widehat{zOy} = \widehat{tOy}$.
Tia phân giác của một góc: Tia phân giác của một góc là tia nằm giữa hai cạnh của góc đó và chia góc đó thành hai góc có số đo bằng nhau. Nếu tia Oy là tia phân giác của góc xOz, thì Oy phải nằm giữa hai tia Ox, Oz và $\widehat{xOy} = \widehat{yOz}$. Điều này cũng có nghĩa là $\widehat{xOy} = \widehat{yOz} = \frac{{\widehat {xOz}}}{2}$.

Phương pháp giải chung cho dạng bài

Xác định tia nằm giữa hai tia cùng phía so với tia bờ:
- Liệt kê các góc được tạo bởi tia bờ chung (ví dụ: Ot) với các tia khác (Ox, Oy, Oz, ...).
- Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia Ot, tia nào tạo với tia Ot góc có số đo nhỏ hơn thì tia đó nằm giữa tia Ot và tia tạo góc lớn hơn.
Xác định tia nằm giữa hai tia bất kỳ (không nhất thiết phải có tia bờ):
- Tính số đo các góc tạo bởi ba tia cần xét (ví dụ: $\widehat{xOy}$, $\widehat{yOz}$, $\widehat{xOz}$). Áp dụng quy tắc cộng góc: nếu tia Ob nằm giữa tia Oa và tia Oc, thì $\widehat{aOb} + \widehat{bOc} = \widehat{aOc}$.
- Ngược lại, nếu ba tia Oa, Ob, Oc cùng nằm trên một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng chứa tia Oa, và $\widehat{aOb} + \widehat{bOc} = \widehat{aOc}$, thì tia Ob nằm giữa hai tia Oa và Oc.
Kiểm tra tia phân giác:
- Để một tia (ví dụ: Oy) là tia phân giác của một góc (ví dụ: $\widehat{xOz}$), cần chứng minh hai điều kiện:
  - Tia đó (Oy) nằm giữa hai cạnh của góc ($\widehat{xOz}$), tức là nằm giữa hai tia Ox và Oz. Sử dụng phương pháp ở bước 2 để chứng minh.
  - Tia đó chia góc thành hai góc bằng nhau ($\widehat{xOy} = \widehat{yOz}$). Tính số đo các góc này và so sánh.

Báo lỗi/Góp ý

Các bài tập cùng chuyên đề

Bài 1 :

Cắt rời một góc xOy từ một tờ giấy rồi gấp sao cho hai cạnh của góc trùng nhau (H.3.9).

Mở mảnh giấy ra, nếp gấp cho ta hình ảnh tia Oz chia góc ban đầu thành hai góc.

a) Em hãy nhận xét về vị trí của tia Oz so với hai cạnh của góc xOy.

b) Em hãy so sánh hai góc xOz và zOy.